Grenzwerte von Folgen
Als Korollar zum Satz von Bolzano-Weierstraß zeigen wir noch, dass jede Folge reeller Zahlen, in der die Abstände beliebig weit auseinanderliegender Folgenglieder beliebig klein werden, einen eindeutigen Häufungspunkt oder Limes besitzt. Hierzu einige Begriffe.
Definition (konvergente Folgen und Limes einer Folge)
Eine Folge x0, x1, x2, … reeller Zahlen heißt konvergent gegen x ∈ ℝ, in Zeichen limn → ∞ xn = x, falls gilt:
Für alle reellen ε > 0 existiert ein n0 ∈ ℕ mit:
xn ∈ Uε(x) für alle n ≥ n0.
In diesem Fall heißt x der Limes oder Grenzwert der Folge x0, x1, …
Wir begnügen uns häufig mit Schreibweisen der Form x0, x1, x2, … für Folgen. Andere Schreibweisen sind (xn)n ∈ ℕ oder in der Mengenlehre oft auch das noble 〈 xn | n ∈ ℕ 〉. Offiziell ist eine Folge in einer Menge M eine Funktion f : ℕ → M, und xn ist dann nur eine andere Schreibweise für f (n).
Übung
Der Limes einer konvergenten Folge x0, x1, x2, … ist eindeutig bestimmt, d. h. für alle x, y ∈ ℝ gilt:
limn → ∞ xn = x und limn → ∞ xn = y folgt x = y.
Konvergente Folgen verdichten sich also an genau einer Stelle. Dies hat zur Konsequenz, dass die Glieder der Folge beliebig eng zusammenrücken. Diese Eigenschaft wird präzise gefasst im Begriff der Cauchyfolge.
Definition (Cauchyfolge)
Eine Folge x0, x1, x2, … reeller Zahlen heißt Cauchyfolge oder Fundamentalfolge in ℝ, falls gilt:
Für alle reellen ε > 0 existiert ein n0 ∈ ℕ mit:
|xn − xm| < ε für alle n, m ∈ ℕ mit n, m ≥ n0.
Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge: Ist ε > 0 und |x − xn| < ε/2 für alle n ≥ n0, so ist |xn − xm| < ε für alle n, m ≥ n0. Aber auch die Umkehrung ist richtig, und der wesentliche Teil des Beweises dieser Behauptung wird durch den Satz von Bolzano-Weierstraß getragen:
Satz (Konvergenz von Cauchyfolgen)
Jede Cauchyfolge x0, x1, x2, … konvergiert.
Beweis
Sei X = { xn | n ∈ ℕ }.
1. Fall: X ist endlich.
Sei dann X = { y1, … , yk } mit y1 < y2 < … < yk, k ≥ 1. Ist k = 1, so ist offenbar y1 der Limes der Folge. Sei also k > 1, und sei
ε = min { |yi − yi + 1| | 1 ≤ i < k }.
Weiter sei n0 ∈ ℕ mit |xn − xm| < ε für alle n, m ≥ n0. Nach Wahl von ε existiert dann ein i ≤ k mit xn = yi für alle n ≥ n0. Also gilt
limn → ∞ xn = yi.
2. Fall: X ist unendlich.
X ist beschränkt, denn es gibt ein n0 mit |xn − xn0| < 1 für alle bis auf endlich viele n ∈ ℕ. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß existiert also ein Häufungspunkt x von X. Wir zeigen, dass die Folge gegen diesen Häufungspunkt konvergiert, d. h. limn → ∞ xn = x. (Damit ist also x der eindeutige Häufungspunkt der Folge.) Sei hierzu ε > 0, ε ∈ ℝ, und sei n0 ∈ ℕ mit
|xn − xm| < ε/2 für alle n, m ≥ n0.
Wegen x Häufungspunkt von X ist X ∩ Uε/2(x) unendlich. Also existiert ein m ≥ n0 mit |x − xm| < ε/2. Für alle n ≥ n0 ist dann
|x − xn| = |x − xm + xm − xn| ≤ |x − xm| + |xm − xn| < ε/2 + ε/2 = ε,
wobei wir beim ersten Gleichheitszeichen die Null einschieben (0 = − xm + xm) und danach die Dreiecksungleichung verwenden.
Also ist xn ∈ Uε(x) für alle n ≥ n0.