1.3 Algebraische Eigenschaften von ℝ

Übung 1

Welche der Körperaxiome gelten in in den ganzen Zahlen ℤ mit der üblichen Addition und Multiplikation und welche sind verletzt?

Übung 2

Zeigen Sie mit Hilfe der Körperaxiome, dass für alle Elemente a, b, c, d eines Körpers K mit b, d ≠ 0 gilt:

(a)	^a_b ± ^c_d = ^{a d ± b c}_b d

(b)	^a_b · ^c_d = ^a c_b d

(c)	^a/b_c/d = ^a d_b c, falls c ≠ 0

Übung 3

Sei K ein Körper.

(a)	Zeigen Sie mit Hilfe der Körperaxiome, dass für alle a, b, c  ∈  K gilt: c a = c b und c ≠ 0 impliziert a = b(Kürzungsregel für ·) Gilt die Umkehrung der Implikation? Begründen Sie Ihre Antwort.

(b)

Zeigen Sie mit Hilfe der Körperaxiome:

Für alle a, b ≠ 0 gilt a · b ≠ 0.(Nullteilerfreiheit)

Schreiben Sie die Nullteilerfreiheit zudem als Implikation (nach einem Allquantor) und wenden Sie das Kontrapositionsgesetz an, um eine äquivalente Formulierung zu erhalten, in der keine Negation mehr vorkommt.

Übung 4

Sei K ein Körper. Zeigen Sie mit Hilfe der Körperaxiome, dass für alle a, b  ∈  K und alle n, m  ∈  ℕ die folgenden Potenzregeln gelten:

(a)	a^m aⁿ = a^m + n

(b)	(a^m)ⁿ = a^n m

(c)	aⁿ bⁿ = (a b)ⁿ

Übung 5

Sei K ein Körper. Weiter sei 2 = 1 + 1 (mit der 1 des Körpers). Zeigen Sie, dass für alle x, y  ∈  K die drei binomischen Formeln gelten, d. h. es gilt:

(a)	(x + y)² = x² + 2 x y + y²,

(b)	(x − y)² = x² − 2 x y + y²,

(c)	(x + y) (x − y) = x² − y².

Übung 6

Wir definieren Operationen ⊕ und ∗ auf ℝ durch

x ⊕ y = x + y − 1, x ∗ y = 2 x y für alle x, y  ∈  ℝ.

Beweisen oder widerlegen Sie die Axiome (K1) − (K10) für (ℝ, ⊕, ∗, 1, 1/2).

Übung 7

Sei K ein Körper.

(a)	Ergänzen Sie die Pünktchen „…“ im folgenden Ausdruck für Körperelemente begründen Sie, warum die Gleichheit gilt: (∑_{1 ≤ i ≤ n} x_i) (∑_{1 ≤ j ≤ m} y_j) = ∑_{1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} …

(b)	Ergänzen und begründen Sie allgemeiner: ∏_{1 ≤ i ≤ n} ∑_{1 ≤ j ≤ m} x_{i, j} = ∑_… ∏_{1 ≤ i ≤ n} …

[ Hinweis: In der Summe auf der rechten Seite in (b) tauchen Funktionen auf. ]

Übung 8

Man kann zeigen, dass die algebraischen Zahlen einen Körper bilden. Dabei ist unter anderem zu zeigen:

(a)	Ist x algebraisch, so ist auch −x algebraisch.

(b)	Ist x ≠ 0 algebraisch, so ist auch 1/x algebraisch.

Beweisen Sie die Aussagen (i) und (ii). Beobachten Sie, dass alle anderen Körperaxiome automatisch gelten (da sie für ℝ gelten). Warum haben wir noch nicht gezeigt, dass (𝔸, +, ·) einen Körper bildet? Was bleibt zu zeigen?

Übung 9

Für alle k, n  ∈  ℕ mit n ≥ k sei

bin(n, k) = $( \binom{n}{k} )$ = ^n !_{k ! (n − k) !}.

der Binomialkoeffizient „n über k“, wobei wie üblich n! = ∏_{1 ≤ k ≤ n} k die Fakultät von n ist. Verwenden Sie, dass bin(n, k) die Anzahl aller 0-1-Tupel der Länge n ist, die genau k Einsen und n − k Nullen enthalten, und beweisen Sie hiermit, dass in einem Körper für alle x, y und alle n  ∈  ℕ gilt:

(x + y)ⁿ = ∑_{0 ≤ k ≤ n} bin(n, k) x^n − k y^k. (Binomischer Lehrsatz)

Übung 10

Zeigen Sie, dass für alle n ≥ 1 gilt:

(a)	∑_{0 ≤ k ≤ n} (−1)^k $( \binom{n}{k} )$ = 0,

(b)	∑_{0 ≤ 2 k ≤ n} $( \binom{n}{2 k} )$ = ∑_{0 ≤ 2 k + 1 ≤ n} $( \binom{n}{2 k + 1} )$ = 2^n − 1.

Übung 11

Eine Polynomfunktion auf ℝ ist eine Funktion f : ℝ → ℝ derart, dass reelle Zahlen a₀, …, a_n existieren mit

f (x) = a_n xⁿ + … + a₁ x + a₀ für alle x  ∈  ℝ.

Eine rationale Funktion auf ℝ ist eine Funktion h : P → ℝ derart, dass Polynomfunktionen f, g existieren mit:

(i)	P = { x  ∈  ℝ \| g(x) ≠ 0 } ≠ ∅

(ii)	h(x) = f (x)/g(x) für alle x  ∈  P.

Haben zudem f und g keine gemeinsamen Teilerpolynome (d. h., es gibt keine Polynome k, f₁, g₁ mit f (x) = k(x) f₁(x), g(x) = k(x) g₁(x) für alle x  ∈  ℝ, k nicht konstant), so heißt h gekürzt.

Wir setzen:

K = { h | h ist eine gekürzte rationale Funktion }.

Zeigen Sie dass K einen Körper bildet, wenn f₁/g₁ + f₂/g₂ und f₁/g₁ · f₁/g₂ als die Kürzungen von (f₁ g₂ + f₂ g₁)/(g₁ g₂) bzw. (f₁ f₂)/(g₁ g₂) definiert werden, und 0, 1 die konstante Null- bzw. Einsfunktion auf ℝ ist.