1.6 Algebraische Gleichungen
Übung 1
Wir betrachten das komplexe Polynom P : ℂ → ℂ mit
P(z) = i z5 + (2 − 4 i) z4 − (4 − i) z3 + 3 i z2 − 2z − (2 + 4 i) = 0
Weiter sei w = 3 + i.
(a) | Zeigen Sie durch Nachrechnen, dass w eine Nullstelle von P ist. |
(b) | Berechnen Sie das Polynom Q : ℂ → ℂ mit P(z) = (z − w) Q(z) für alle z ∈ ℂ. Verwenden Sie zur Berechnung von Q die Rekursionsformeln des Satzes über das Abspalten von Nullstellen. |
Übung 2
Sei z2 + b z + c = 0 eine algebraische Gleichung zweiten Grades in der Variablen z in einem Körper K. Weiter sei w1 ∈ K eine Lösung der Gleichung, und es sei w2 = − (b + w1). Zeigen Sie mit Hilfe der Körperaxiome und einfacher Folgerungen aus diesen Axiomen (Inversenregeln, binomische Formeln, Nullteilerfreiheit):
(a) | w2 ist eine Lösung der Gleichung. |
(b) | w1 + w2 = −b, w1 w2 = c. (Regeln von Vieta) |
(c) | Ist w ∈ K eine Lösung der Gleichung, so gilt w = w1 oder w = w2. |
Übung 3
Formulieren und beweisen Sie eine Verallgemeinerung der Regeln von Vieta für Gleichungen k-ten Grades in K, k ≥ 1, die genau die (nicht notwendig paarweise verschiedenen) Lösungen w1, …, wk besitzen.
Übung 4
Seien z1, z2, z3 komplexe Zahlen mit den Eigenschaften:
(a) | |z1| = |z2| = |z3| = 1, |
(b) | z1 + z2 + z3 = 1. |
Zeigen Sie, dass z1, z2, z3 die Ecken eines gleichseitigen in den Einheitskreis einbeschriebenen Dreiecks sind.
[ Zeigen und verwenden Sie |zn − zm|2 = 2 − 2 Re(zn zm) für 1 ≤ n < m ≤ 3. ]
Übung 5
Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden komplexen Gleichungen in der Variablen z ∈ ℂ. Geben Sie die Lösungen in der Standardform
z = Re(z) + i Im(z) = x + iy mit x, y ∈ ℝ
an.
(a) | z2 − (3 + 2 i) z + 6 i = 0, |
(b) | z2 − (3 − i) z + 8 + i = 0, |
(c) | z4 = 1, |
(d) | z6 = 1. |
Übung 6
Skizzieren Sie die Lösungen der komplexen Gleichung
(z − 1 + i)5 − 4 i = 0
( Die Lösungen lassen sich geometrisch finden.)