2.3 Cauchy-Folgen
Übung 1
(a) | Zeigen Sie, dass jede konvergente Folge beschränkt ist. |
(b) | Zeigen Sie, dass jede Cauchy-Folge beschränkt ist (ohne Verwendung der Konvergenz von Cauchy-Folgen). |
(c) | Sei (xn)n ∈ ℕ eine Folge in ℝ mit der Eigenschaft: ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |xn − xn0| < ε. Zeigen Sie, dass (xn)n ∈ ℕ eine Cauchy-Folge ist. |
Übung 2
Zeigen Sie durch direkten Nachweis der Cauchy-Bedingung, dass die Folge (xn)n ≥ 1 mit xn = 1/n für alle n ≥ 1 eine Cauchy-Folge ist.
Übung 3
Sei (dn)n ∈ ℕ eine Folge reeller Zahlen größergleich 0. Weiter sei s ∈ ℝ mit
d0 + … + dn ≤ s für alle n ∈ ℕ.
Zeigen Sie: Jede Folge (xn)n ∈ ℕ mit |xn − xn + 1| ≤ dn für alle n konvergiert.
Übung 4
Sei xn = für alle n ∈ ℕ. Zeigen Sie:
(a) | limn |xn + 1 − xn| = limn (xn + 1 − xn) = 0. |
(b) | (xn)n ∈ ℕ ist keine Cauchy-Folge. |
Übung 5
Wir setzen die reelle Logarithmusfunktion log : ] 0, ∞ [ → ℝ als bekannt voraus, samt ihren Eigenschaften wie log(1) = 0, log(a b) = log(a) + log(b), log(1/a) = − log(a) für a, b > 0. Seien xn = log(n) und yn = log(log(n)) für alle n ∈ ℕ. Zeigen Sie:
(a) | limn (xn + 1 − xn) = 0. |
(b) | limn (y2n − yn) = 0. |
(c) | (xn)n ∈ ℕ und (yn)n ∈ ℕ sind keine Cauchy-Folgen. |
Übung 6
Sei (xn)n ∈ ℕ eine beschränkte Folge in ℝ, und sei x ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) | x = limsupn xn. |
(b) | ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 xn < x + ε und ∀ε > 0 ∀n0 ∃n ≥ n0 xn > x − ε |
Formulieren Sie eine analoge Charakterisierung des Limes Inferior.
Übung 7
Sei (xn)n ∈ ℕ eine beschränkte Folge in ℝ. Zeigen Sie, dass liminfn xn der kleinste und limsupn xn der größte Häufungspunkt von (xn)n ∈ ℕ ist.
Übung 8
Seien (xn)n ∈ ℕ eine beschränkte Folge in ℝ und x ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) | limn xn = x. |
(b) | liminfn xn = limsupn xn = x. |