2.5 Konvergenzkriterien für Reihen

Übung 1

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in ℝ. Zeigen Sie:

(a)	∑_n x_n konvergiert genau dann, wenn gilt: ∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ m ≥ n₀ \|∑_{m < k ≤ n} x_k\| < ε.

(b)	Konvergiert ∑_n x_n, so ist lim_n x_n = 0.

Übung 2

Zeigen Sie:

(a)	∑_{1 ≤ k ≤ 2n} ^{(−1)^n − 1}_n = ¹_n + 1 + … + ¹_2n für alle n ≥ 1.

(b)	∑_n ≥ 1 ^{(−1)^n − 1}_n = lim_n (¹_n + 1 + … + ¹_2n).

Übung 3

Sei ∑_n x_n eine konvergente Reihe in ℝ. Dann sind äquivalent:

(a)	∑_n x_n konvergiert bedingt.

(b)	∑_n max(0, x_n) = ∞ und ∑_n min(0, x_n) = −∞.

Übung 4

Sei ∑_n x_n eine Reihe in ℝ. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)	∑_n x_n ist absolut konvergent.

(b)	∑_n max(0, x_n) < ∞ und ∑_n min(0, x_n) > −∞.

Zeigen Sie weiter, dass dann ∑_n x_n = ∑_{n, x_n ≥ 0} x_n + ∑_{n, x_n < 0} x_n.

Übung 5

Sei ∑_n x_n eine absolut konvergente Reihe in ℝ. Zeigen Sie:

∑_n x_n = ∑_k x_2k + ∑_k x_2k + 1.

Gilt diese Aussage für alle konvergenten Reihen ∑_n x_n?

Übung 6

Sei ∑_n x_n eine absolut konvergente Reihe in ℝ derart, dass (|x_n|)_{n  ∈  ℕ} monoton fallend ist. Zeigen Sie, dass lim_n (nx_n) = 0. Kann hier „absolut konvergent“ zu „konvergent“ abgeschwächt werden?

Übung 7

Seien ∑_n y_n, ∑_n x_n Reihen in ℝ mit y_n ≥ x_n ≥ 0 für alle n. Zeigen Sie:

Ist ∑_n x_n divergent, so ist auch ∑_n y_n divergent.

Übung 8

Sei ∑_n x_n eine Reihe in ℝ, und sei w = limsup_n ⁿ $\sqrt{{|x}_{n} |}$ ≤ ∞. Zeigen Sie:

(a)	Ist w < 1, so konvergiert ∑_n x_n.

(b)	Ist w > 1, so divergiert ∑_n x_n.

Übung 9

Sei ∑_n x_n eine Reihe in ℝ mit x_n ≠ 0 für alle n. Zeigen Sie:

(a)	Ist limsup_n \|x_n + 1/x_n\| < 1, so konvergiert ∑_n x_n.

(b)	Existiert ein n₀ mit \|x_n + 1/x_n\| ≥ 1 für alle n ≥ n₀, so divergiert ∑_n x_n.

Übung 10

Zeigen Sie:

(a)	∑_n ¹_n! konvergiert.

(b)	∑_n ≥ 1 $\frac{1}{\sqrt{n (n + 1)}}$ divergiert.

(c)	∑_n ≥ 1 ^n!_nⁿ konvergiert.

(d)	∑_n ≥ 1 ^n²_2ⁿ konvergiert.

Übung 11

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine monoton fallende Folge in ℝ mit x_n ≥ 0 für alle n. Zeigen Sie (ohne Verwendung des allgemeinen Verdichtungskriteriums von Cauchy), dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)	∑_n x_n konvergiert.

(b)	∑_n 2ⁿ x_2ⁿ konvergiert.

Folgern Sie, dass ∑_n ≥ 1 1/ $\sqrt{n^{3}}$ konvergiert.

Übung 12

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine monoton fallende Folge positiver Zahlen. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)	∑_n x_n konvergiert.

(b)	∑_n (2n + 1) x_n² konvergiert.

(c)	∑_n n x_n² konvergiert.

Übung 13

Sei ∑_n x_n eine konvergente Reihe in ℝ, und sei (y_n)_{n  ∈  ℕ} eine monotone und beschränkte Folge in ℝ. Zeigen Sie, dass ∑_n x_n y_n konvergiert.

Übung 14

Seien ∑_n x²_n und ∑_n y²_n konvergente Reihen in ℝ. Zeigen Sie, dass ∑_n x_n y_n absolut konvergiert.