3.3 Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen

Übung 1

Sei f : [ 0, 1 ] → ℝ eine stetige Funktion. Welche der folgenden Aussagen sind (1) immer richtig, (2) immer falsch, (3) für manche f richtig und für manche f falsch? Beweisen Sie Ihre Antworten.

(a)

{ x  ∈  [ 0, 1 ] | f (x) = 0 }  =  ] 1/4, 3/4 [.

(b)

{ x  ∈  [ 0, 1 ] | f (x) = 0 }  =  [ 0, 1/4 ] ∪ [ 3/4, 1 ].

(c)

Ist der Punkt 0 die einzige Nullstelle von f, so sind alle anderen Funktionswerte entweder alle positiv oder alle negativ.

(d)

Es gibt ein δ > 0, sodass für alle Nullstellen x von f gilt:

Ist x′  ∈  [ 0, 1 ] und |x − x′| < δ, so ist |f (x′)| < 1.

Übung 2

Sei P ⊆ ℝ ein Intervall, und sei f : P → ℝ stetig. Zeigen Sie, dass der Wertebereich Q = { f (x) | x  ∈  P } von f ein Intervall ist. Folgern Sie, dass jede stetige Funktion f : ℝ → ℚ konstant ist.

Übung 3

Sei f : P → ℝ nicht streng monoton. Zeigen Sie, dass x < y < z in P gibt mit:

(1)  f (x) ≤ f (y) und f (y) ≥ f (z)  oder  (2)  f (x) ≥ f (y) und f (y) ≤ f (z).

Übung 4

Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ stetig. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)

f ist injektiv.

(b)

f ist streng monoton.

Übung 5

Für eine Funktion f : P → ℝ sei

X  =  { x, y  ∈  P | x < y und f (x) ≥ f (y) }

die Menge der Verletzungspunkte der Eigenschaft „streng monoton steigend“. Zeigen Sie, dass es ein kompaktes Intervall I und eine stetige nicht streng monotone Funktion f : I → ℝ gibt mit inf (X)  ∉  X. (Eine Skizze eines Funktionsgraphen genügt.)

Übung 6

Sei f : [ a, b ] → ℝ eine stetige Funktion mit Wertebereich [ c, d ], c < d. Weiter sei A = { x  ∈  [ a, b ] | f (x) = c } und B = { x  ∈  [ a, b ] | f (x) = d }. Zwischen zwei Maxima liege immer mindestens ein Minimum und umgekehrt, d. h., es gelte:

Für alle x < y in A existiert ein z  ∈  B mit x < z < y und für alle x < y in B existiert ein z  ∈  A mit x < z < y.

Zeigen Sie, dass A und B endlich sind. Skizzieren Sie zudem eine „typische“ derartige Funktion f.

Übung 7

Sei f : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ] stetig mit f (0) = f (1). Zeigen Sie, dass es ein p  ∈  [ 0, 1/2 ] gibt mit

f (p)  =  f(p  +  1/2).

Zeigen Sie allgemeiner, dass es für alle n ≥ 1 ein p  ∈  [ 0, 1 − 1/n ] gibt mit

f (p)  =  f(p  +  1/n).

Übung 8

Sei f : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ] stetig. Zeigen Sie, dass für alle n ≥ 1 ein x  ∈  [ 0, 1 ] existiert mit f (x)  =  xn.

Übung 9

(a)

Sei f : ℝ → ℝ stetig. Es existiere die Umkehrfunktion f −1 von f, und es gelte f −1 = f. Zeigen Sie, dass ein x  ∈  ℝ existiert mit f (x) = x.

(b)

Zeigen Sie, dass ein bijektives f : ℝ → ℝ existiert mit den Eigenschaften:

f −1  =  f,  f (x) ≠ x  für alle x  ∈  ℝ.

Übung 10

Führen Sie die Beweisskizzen des Nullstellensatzes, des Extremwertsatzes von Weierstraß und des Satzes von Heine über gleichmäßige Stetigkeit durch das Bisektionsverfahren detailliert aus.

Übung 11

Sei f : ℝ → ℝ stetig, und es gebe c, d  ∈  ℝ mit

limx → ∞ f (x)  =  c,  limx → − ∞ f (x)  =  d.

Zeigen Sie, dass f gleichmäßig stetig ist.

Übung 12

Wir nennen ein P ⊆ ℝ für diese Übung quasibeschränkt, falls gilt:

Es gibt δ, s > 0, sodass |x − y| > δ für alle x, y  ∈  P − [ −s, s ] mit x ≠ y.

Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen für alle P ⊆ ℝ äquivalent sind:

(a)

Jede stetige Funktion f : P → ℝ ist gleichmäßig stetig.

(b)

P ist abgeschlossen und quasibeschränkt.