3.6 Konvergente Funktionenfolgen
Übung 1
Geben Sie konkrete Funktionen fn : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ], n ≥ 1, an mit den Eigenschaften:
(a) | fn ist stetig für alle n ≥ 1. |
(b) | (fn)n ≥ 1 konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion auf [ 0, 1 ]. |
(c) | Für alle n ≥ 1 gibt es ein x ∈ [ 0, 1 ] mit fn(x) = 1. |
Beweisen Sie die Eigenschaften und erstellen Sie ein Diagramm zur Visualisierung der Konstruktion.
Übung 2
Sei P ⊆ ℝ, und sei (fn)n ∈ ℕ eine Folge von Funktionen auf P. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) | (fn)n ∈ ℕ konvergiert gleichmäßig auf P. |
(b) | ∀ε > 0 ∃n0 ∀n, m ≥ n0 ∀x ∈ P |fn(x) − fm(x)| < ε. |
Formulieren Sie weiter ein Cauchy-Kriterium wie in (b) für die gleichmäßige Konvergenz einer Reihe ∑n gn von Funktionen gn auf P.
Übung 3
Sei (fn)n ∈ ℕ eine gleichmäßig gegen f : ℝ → ℝ konvergente Folge von Funktionen auf ℝ. Für alle n existiere cn = limx → ∞ fn(x). Zeigen Sie:
limn cn = limx → ∞ f (x).
Übung 4
Sei P ⊆ ℝ nichtleer. Zeigen oder widerlegen Sie, dass für alle beschränkten Funktionen f, g und alle a ∈ ℝ gilt (mit der Supremumsnorm):
(a) | ∥ f ∥ = 0 genau dann, wenn f (x) = 0 für alle x ∈ P, |
(b) | ∥ a f ∥ = |a| ∥ f ∥, |
(c) | ∥ f + g ∥ = ∥ f ∥ + ∥ g ∥, |
(d) | ∥ f + g ∥ ≤ ∥ f ∥ + ∥ g ∥, |
(e) | ∥ f · g ∥ = ∥ f ∥ · ∥ g ∥, |
(f) | ∥ f · g ∥ ≤ ∥ f ∥ · ∥ g ∥. |
Übung 5
Sei P ⊆ ℝ nichtleer. Zeigen oder widerlegen Sie, dass für alle beschränkten Funktionen f, f0, f1, …, fn, … : P → ℝ gilt (mit der Supremumsnorm):
(a) | limn ∥ fn − f ∥ = 0 impliziert limn fn = f und limn ∥ fn ∥ = ∥ f ∥, |
(b) | limn fn = f und limn ∥ fn ∥ = ∥ f ∥ impliziert limn ∥ fn − f ∥ = 0. |
In (a) und (b) ist „limn fn = f“ die punktweise Konvergenz.
Übung 6
Seien fn : P → ℝ durch s ∈ ℝ beschränkte Funktionen, d. h., es gilt
|fn(x)| ≤ s für alle x ∈ P und alle n ∈ ℕ.
Weiter sei ∑n an eine absolut konvergente Reihe in ℝ. Zeigen Sie, dass die Reihe ∑n an fn gleichmäßig konvergiert. Zeigen Sie weiter, dass die Voraussetzung der absoluten Konvergenz von ∑n an nicht zur Konvergenz abgeschwächt werden kann.
Übung 7
Sei (fn)n ∈ ℕ eine Folge von auf ganz ℝ definierten reellen Funktionen, und sei f : ℝ → ℝ. Für alle Folgen (xn)n ∈ ℕ in ℝ und alle x ∈ ℝ gelte:
(+) Ist limn xn = x, so ist limn fn(xn) = f (x).
Zeigen Sie:
(a) | (fn)n ∈ ℕ konvergiert punktweise gegen f. |
(b) | Sei x ∈ ℝ und (xn)n ∈ ℕ eine Folge mit limn xn = x. Weiter sei (in)n ∈ ℕ streng monoton steigend in ℕ. Dann gilt: limn fin(xn) = f (x).(Verstärkung von (+) für Teilfolgen) |
(c) | f ist stetig. |
Übung 8
Seien fn, f : [ a, b ] → ℝ, n ∈ ℕ, Funktionen mit den Eigenschaften:
(a) | fn ist monoton steigend für alle n, |
(b) | f ist stetig, |
(c) | f = limn fn (punktweise). |
Zeigen Sie, dass f = limn fn (gleichmäßig).
Übung 9
Konstruieren Sie Beispiele, die zeigen, dass im Satz von Dini weder auf die Stetigkeit von f noch auf die Stetigkeit der fn, noch auf die Monotoniebedingung (c) verzichtet werden kann. Zeigen Sie weiter, dass der Satz nicht mehr allgemein gilt, wenn der Definitionsbereich der Funktionen von der Form ] a, b [ oder [ a, ∞ [ ist.