Analysis 1 | Übungen | 4.2 Ableitungsregeln – Oliver Deiser

Übung 1

Zeigen Sie, dass im Fall der Definiertheit gilt:

(a)	^d_dx a^x = log(a) a^x,

(b)	^d_dx x^a = a x^a − 1,

(c)	^d_dx log_a(x) = ¹_{x log(a)},

(d)	^d_dx log_x(a) = − ^log_x(a)_{x log(x)}.

Übung 2

Bestimmen Sie ^d_dx x^x und ^d_dx x^{(x^x)} für x > 0.

Übung 3

Beweisen Sie die Produktregel (f g)′ = f ′g + f g′ und die Quotientenregel

(¹_g) ′ = − ^g′_g²

durch direkte Berechnung der entsprechenden Differentialquotienten (also ohne Verwendung des Approximationssatzes und der Kettenregel).

Übung 4

Beweisen Sie die Produktregel mit Hilfe des zweiten Approximationssatzes.

Übung 5

Zeigen Sie, dass im Fall der Definiertheit gilt:

(a)	d/dx tan x = 1/cos² x,

(b)	d/dx cot x = − 1/sin² x,

(c)	d/dx sec x = sin x/cos² x,

(d)	d/dx csc x = − cos x/sin² x.

Übung 6

Zeigen Sie, dass für alle x  ∈  ℝ gilt:

(a)	d/dx arctan x = 1/(1 + x²),

(b)	d/dx arccot x = − 1/(1 + x²).

Beweisen Sie die verwendeten trigonometrischen Identitäten (mit Ausnahme des Satzes von Pythagoras).

Übung 7

Zeigen Sie, dass im Fall der Definiertheit gilt:

(a)	d/dx sinh x = cosh x,	d/dx cosh x = sinh x,
(b)	d/dx tanh x = 1/cosh² x,	d/dx coth x = − 1/sinh² x,
(c)	d/dx arsinh x = 1/ $\sqrt{x^{2} + 1}$ ,	d/dx arcosh x = 1/ $\sqrt{x^{2} - 1}$ ,
(d)	d/dx artanh x = 1/(1 − x²),	d/dx arcoth x = 1/(1 − x²).

Übung 8

Für ein differenzierbares f : ℝ → ] 0, ∞ [ sei

L(f) = ^f ′_f.

Zeigen Sie, dass für alle differenzierbaren f, g : ℝ → ] 0, ∞ [ und a  ∈  ℝ gilt:

(a)	L(f g) = L(f) + L(g).

(b)	L(f ^a) = a L(f), wobei f ^a(x) = f (x)^a für alle x  ∈  ℝ.

(c)	Ist h : ℝ → ℝ differenzierbar und exp ∘ h = f, so gilt L(f) = h′.

Stellen Sie weiter den im Text erwähnten Zusammenhang zwischen L(f₁ · … · f_n) und einer Produktregel für (f₁ · … · f_n)′ her.

Übung 9

Seien f, g : P → ℝ. Zeigen Sie, dass für alle n  ∈  ℕ gilt:

Sind f, g n-mal differenzierbar, so ist das Produkt f g : P → ℝ n-mal differenzierbar und es gilt

(f g)⁽ⁿ⁾ = ∑_k ≤ n $( \binom{n}{k} )$ f ^(k) g^(n − k).

Übung 10

Seien f, g : P → ℝ Funktionen, und sei p  ∈  P ein Häufungspunkt von P. Es gelte:

(i)	f (p) = 0,

(ii)	f ist differenzierbar in p,

(iii)

g ist stetig in p.

Zeigen Sie, dass das Produkt f g : P → ℝ differenzierbar in p ist und dass

(f g)′(p) = f ′(p) · g(p).

Illustrieren Sie die Aussage zudem durch ein Beispiel mit einer an der Stelle p nicht differenzierbaren Funktion g.

Übung 11

Skizzieren Sie eine monoton fallende differenzierbare Funktion f : [ 0, ∞ [ → [ 0, ∞ [ mit den Eigenschaften:

(a)	lim_x → ∞ f (x) = 0,

(b)	lim_x → ∞ f ′(x) existiert nicht.

Übung 12

Sei n ≥ 1. Geben Sie Funktionen f, g f : ℝ → ℝ an mit:

(a)	f ist eine 𝒞ⁿ-Funktion, aber f ^(n + 1) existiert nicht.

(b)	g⁽ⁿ⁾ existiert, aber g ist keine 𝒞ⁿ-Funktion.