4.3 Der Mittelwertsatz

Übung 1

Seien n, k ≥ 1. Sei f : ℝ → ℝ definiert durch

$f (x) = { \begin{matrix} x^{n} sin (1 / x^{k}) & falls x \neq 0 \\ 0 & falls x = 0 \end{matrix}$

Untersuchen Sie (in Abhängigkeit von n und k) die Funktion f auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Untersuchen Sie im Fall der Existenz zudem das Werteverhalten von f ′ auf Intervallen der Form [ − ε, ε ], ε > 0.

Übung 2

Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ eine differenzierbare nicht monotone Funktion. Zeigen Sie, dass f ′ eine Nullstelle besitzt. Gilt diese Aussage auch für beliebige Definitionsbereiche?

Übung 3

Sei g : ℝ → ℝ eine Gerade mit der Steigung a. Weiter seien f : ℝ → ℝ differenzierbar und n ≥ 2 derart, dass f − g mindestens n Nullstellen besitzt. Zeigen Sie, dass es x₁ < … < x_n − 1 gibt mit f ′(x_i) = a für i = 1, …, n − 1.

Übung 4

Seien f, g : [ a, b ] → ℝ stetig und in ] a, b [ differenzierbar. Es gelte f (a) = g(a). Zeigen Sie:

(a)	Gilt f ′(x) ≥ g′(x) für alle x  ∈  ] a, b [ , so gilt f (b) ≥ g(b).

(b)	Gilt f ′(x) > g′(x) für alle x  ∈  ] a, b [ , so gilt f (b) > g(b).

Übung 5

Sei a  ∈  ℝ. Bestimmen Sie alle Funktionen f : ℝ → ℝ mit f ′ = a f.

Übung 6

Sei n  ∈  ℕ, und sei f : ℝ → ℝ eine (n + 1)-mal differenzierbare Funktion mit:

f ⁽ⁿ⁾ ≠ 0, f ^(n + 1) = 0.

Zeigen Sie, dass f ein Polynom ist mit deg(f) = n.

Übung 7

Bestimmen Sie mit Hilfe der Regeln von l’Hospital:

(a)	lim_x → ∞ ^log(x)_x^a für a > 0,

(b)	lim_x → π/2 (x − π/2) tan x,

(c)	lim_x → 1 ^{1 + cos(πx)}_{(x − 1)²}.

Übung 8

Geben Sie differenzierbare Funktionen f, g : ] 0, 1 [ → ℝ mit g(x) ≠ 0 und g′(x) ≠ 0 für alle x  ∈  ] 0, 1 [ an derart, dass gilt:

lim_{x ↓ 0} ^f (x)_g(x) = 0, lim_{x ↓ 0} ^f ′(x)_g′(x) existiert nicht.