4.5 Die Krümmung

Übung 1

Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ konvex. Zeigen Sie:

(a)	Seien p < q < r in I, und es gebe eine Gerade g durch (p, f (p)), (q, f (q)), (r, f (r)). Dann gilt f (x) = g(x) für alle x  ∈  [ p, r ].

(b)	Ist f streng konvex, so schneidet f jede Gerade in höchstens zwei Punkten. Insbesondere nimmt f jeden Wert höchstens zweimal an.

Übung 2

Sei I ein nichttriviales Intervall, und sei f : I → ℝ stetig. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)	f ist konvex.

(b)	f (^{x + y}₂) ≤ ^{f (x) + f (y)}₂ für alle x < y in I.

Übung 3

Sei f : ] a, b [ → ℝ konvex oder konkav. Zeigen Sie, dass f stetig ist.

Gilt diese Aussage auch für abgeschlossene Intervalle?

Übung 4

Sei f : [ a, b [ → ℝ stetig und konvex auf ] a, b [, d. h. f↾] a, b [ ist konvex. Zeigen Sie, dass f konvex ist.

Übung 5

Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ konvex. Zeigen Sie:

(a)	Seien x₁ < x₂ in I. Dann gilt: f (x) ≥ f_{x₁, x₂}(x) für alle x  ∈  I − [ x₁, x₂ ].

(b)	Ist f streng konvex, so gilt „>“ statt „≥“ in (a).

Übung 6

Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ stetig, streng monoton und konvex. Weiter sei J = f [ I ] und g = f ⁻¹ : J → ℝ. Zeigen Sie:

(a)	Ist f streng monoton steigend, so ist g konkav.

(b)	Ist f streng monoton fallend, so ist g konvex.

Geben Sie zudem je ein instruktives Beispiel für (a) und (b) an.

Übung 7

Zeigen Sie, dass es eine Funktion f : ℝ → ℝ gibt, für deren Newton-Iteration (x_n)_{n  ∈  ℕ} zum Startpunkt x₀ = 1 gilt:

x_n = n + 1 für alle n.

Übung 8

Zeigen Sie, dass es einen Punkt x₀  ∈  ] −π/2, 0 [ gibt, sodass für die Newton-Iteration (x_n)_{n  ∈  ℕ} von sin(x) zum Startpunkt x₀ gilt:

x_n = x₀ + 2π n für alle n.

Übung 9

Sei f : ℝ → ℝ definiert durch

f (x) = x³ − 2 x + 2 für alle x.

Bestimmen Sie die Newton-Iteration von f zum Startpunkt

x₀ = 0.

Übung 10

Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ konvex. Weiter seien λ₁, …, λ_n > 0 mit λ₁ + … + λ_n = 1. Zeigen Sie, dass für alle x₁, …, x_n  ∈  I gilt:

(+) f (λ₁ x₁ + … + λ_n x_n) ≤ λ₁ f (x₁) + … + λ_n f (x_n).

Zeigen Sie weiter: Ist f streng konvex, so gilt in (+) Gleichheit genau dann, wenn x₁ = … = x_n.

Übung 11

Sei n ≥ 1. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes über das geometrische und arithmetische Mittel, dass für alle x = (x₁, …, x_n) und y = (y₁, …, y_n)  ∈  ℝⁿ gilt:

〈 x, y 〉 ≤ ∥ x ∥ ∥ y ∥. (Cauchy-Schwarz-Ungleichung)

Hierbei ist

〈 x, y 〉 = x₁ y₁ + … + x_n y_n

das Skalarprodukt von x und y und ∥ v ∥ = $\sqrt{v_{1}^{2} + … + v_{n}^{2}}$ die Euklidische Länge von v = (v₁, …, v_n).