4.6 Die Taylor-Entwicklung

Übung 1

Sei y  ∈  ℝ. Beweisen Sie den Binomischen Lehrsatz

(x + y)ⁿ  =  ∑_k ≤ n $( \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{n}}{\mathrm{k}} )$ x^k y^n − k  für alle x  ∈  ℝ

durch Taylor-Entwicklung der Funktion f : ℝ → ℝ mit

f (x)  =  (x + y)ⁿ  für alle x  ∈  ℝ.

Übung 2

Sei f : I → ℝ, I ein offenes Intervall, n-mal differenzierbar in p  ∈  P. Es gelte

f (x)  =  a₀  +  a₁ (x − p)  +  …  +  a_n (x − p)ⁿ  +  o((x − p)ⁿ)  für x → p

für gewisse a₀, …, a_n. Zeigen Sie:

a_k  =  ^{f (k)(p)}_k!  für alle k ≤ n.

Übung 3

Bestimmen Sie das Taylor-Polynom der Ordnung 3 für die Funktion arcsin : [ −1, 1 ] → ℝ im Entwicklunspunkt p = 1/2.

Übung 4

Zeigen Sie den Satz von Peano mit Hilfe des Satzes von Taylor bei n-maliger stetiger Differenzierbarkeit von f : I → ℝ im Punkt p.

Übung 5

Zeigen Sie, dass für „x → p“ gilt:

f (x)  =  h(x)  +  O((x − p)^n + 1)  impliziert  f (x)  =  h(x)  +  o((x − p)ⁿ ).

Zeigen Sie weiter, dass die andere Implikation im Allgemeinen nicht gilt.

Übung 6

Sei f : ] −1, 1 [ → ℝ definiert durch f (x) = (1 + x)^1/2 für alle x mit |x| < 1.

Bestimmen Sie die Taylor-Approximation T¹₀ f und beweisen Sie mit Hilfe dieser Approximation, dass

lim_x → ∞ ((x + x^1/2)^1/2 − x^1/2)  =  1/2.

Übung 7

Bestimmen Sie die Taylor-Reihe der Funktion f : ] −∞, 0 [ → ℝ mit

f (x)  =  x⁻²  für alle x < 0

im Entwicklungspunkt p = −1.

Übung 8

Sei s  ∈  ℝ, und sei f_s : ] −1, 1 [ → ℝ definiert durch

f_s(x)  =  (1 + x)^s  für alle x  ∈  ] −1, 1 [.

Bestimmen Sie die Ableitungen f_s⁽ⁿ⁾ und die Taylor-Reihe T₀ f_s von f_s im Entwicklungspunkt 0.

Übung 9

Sei f : [ 0, ∞ [ → ℝ mit

f (x)  =  $\sqrt{\mathrm{x}}$  für alle x ≥ 0

die Quadratwurzelfunktion. Bestimmen Sie die Taylor-Reihe T₁ f von f für den Entwicklungspunkt p = 1. Zusatzaufgabe: Bestimmen Sie den Konvergenzbereich K_f, 1 = { x  ∈  ℝ | T₁ f (x) konvergiert } der Reihe.

Übung 10

Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ glatt. Weiter sei g : I → ℝ stetig. Es gelte |f ⁽ⁿ⁾(x)| ≤ g(x) für alle x  ∈  I und alle n. Zeigen Sie, dass für alle p  ∈  I gilt:

T_p f (x)  =  f (x)  für alle x  ∈  I.

Übung 11

Sei f : ℝ → ℝ definiert durch

$\mathrm{f}(\mathrm{x})= { \begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{-1/{\mathrm{x}}^2}\hfill & \mathit{\text{falls\hspace{1em}}}\mathrm{x}\ne 0,\hfill \\ 0\hfill & \mathit{\text{falls\hspace{1em}}}\mathrm{x}=0.\hfill \end{array}$

Zeigen Sie, dass f im Nullpunkt beliebig oft differenzierbar ist und dass f ⁽ⁿ⁾(0) = 0 für alle n gilt.

Übung 12

Sei f : ℂ − { 0 } → ℂ definiert durch

f (z)  =  exp(−1/z²)  für alle z  ∈  ℂ*.

Ist f stetig in den Nullpunkt fortsetzbar?