4.7 Potenzreihen
Übung 1
Sei ∑n an xn eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R. Zeigen Sie, dass mit „1/0 = ∞“ und „1/∞ = 0“ gilt:
(a) | R = . (Formel von Cauchy-Hadamard) |
(b) | Ist an ≠ 0 für alle n, so gilt im Falle der Existenz des Grenzwerts R = 1limn |an + 1/an|. (Formel von Euler) |
Übung 2
Bestimmen Sie die Konvergenzbereiche der folgenden Potenzreihen in ℝ.
(a) | ∑n an xn mit an ∈ { 0, 1 } für alle n, |
(b) | ∑n xn2n, |
(c) | ∑n ≥ 1 (x − 1)nn. |
Übung 3
Bestimmen Sie die Konvergenzbereiche der folgenden Potenzreihen in ℝ.
(a) | ∑n ≥ 1 log(n) xn, |
(b) | ∑n xn!, |
(c) | ∑n xn. |
Übung 4
Sei R der Konvergenzradius der reellen Potenzreihe ∑n an xn. Weiter sei k ∈ ℕ. Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden reellen Potenzreihen:
| (a) ∑n akn xn, | (b) ∑n an xk n, | (c) ∑n an nk xn. |
Übung 5
Bestimmen Sie die folgenden Summen für alle x mit |x| < 1:
| (a) | ∑n ≥ 1 xnn + 1, | (b) ∑n ≥ 1 xn2n − 1. |
Übung 6
Zeigen Sie, dass für alle x mit |x| ≤ 1/2 gilt:
|log(1 + x) − x| ≤ x2.
Übung 7
Sei f = ∑n an (x − p)n eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius R. Weiter sei q ∈ ] p − R, p + R [, und es sei g = Tq f die Taylor-Reihe von f im Entwicklungspunkt q. Zeigen Sie, dass die Funktionen f und g auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich übereinstimmen.
Übung 8
Seien f = ∑n an xn und g = ∑n bn xn Potenzreihen mit Konvergenzradien R1 bzw. R2. Weiter sei R das Minimum von R1 und R2. Zeigen Sie, dass sich die Funktionen f + g und f · g in ] −R, R [ als Potenzreihen darstellen lassen. Kann der Konvergenzradius dieser Reihen größer sein als R?
Übung 9
Seien f = ∑n an xn und g = ∑n bn xn Potenzreihen mit Konvergenzradien R1 bzw. R2. Weiter sei R der Konvergenzradius von ∑n (an bn) xn.
Zeigen Sie, dass R ≥ R1 · R2 gilt. Kann R > R1 · R2 gelten?
Übung 10
Seien f = ∑n an xn und g = ∑n bn xn Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien. Es gebe eine Nullfolge (xk)k ∈ ℕ mit xk ≠ 0 und f (xk) = g(xk) für alle k. Zeigen Sie, dass an = bn für alle n.
[ Zeigen Sie die Aussage durch Induktion nach n. Betrachten Sie im Induktionsschritt von n nach n + 1 Schranken für die unendliche Summe des Terms x · ∑m ≥ n + 1 (am − bm) xm − n − 1. ]
Übung 11
Sei f = ∑n an xn eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius R. Weiter sei 0 < r < R, und es sei N = { x ∈ [ −r, r ] | f (x) = 0 } unendlich. Zeigen Sie, dass an = 0 für alle n ∈ ℕ.
Übung 12
Sei (an)n ∈ ℕ die Folge der Fibonacci-Zahlen, d. h. es gilt
a0 = a1 = 1, an + 2 = an + an + 1 für alle n.
Sei φ = Φ = (1 + )/2 der Goldene Schnitt. Zeigen Sie mit Hilfe von
limn anan + 1 = 1φ,
dass gilt:
(a) | Die Potenzreihe ∑n an xn hat den Konvergenzradius 1/φ. |
(b) | Für alle x mit |x| < 1/φ gilt ∑n an xn = 11 − x − x2. |
Übung 13
Zeigen Sie mit Hilfe von Potenzreihen, dass es differenzierbare Funktionen f, g, h : ℝ → ℝ gibt mit den folgenden Eigenschaften:
(i) | f ′ = g, g′ = h, h′ = f. |
(ii) | f (0) = 1, g(0) = 0, h(0) = 0. |
Übung 14
Seien fn : [ −1, 1 ] → ℝ definiert durch
fn(x) = x1 + n2 x2 für alle x ∈ [ −1, 1 ] und alle n.
Zeigen Sie:
(a) | (fn)n ∈ ℕ konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion auf [ −1, 1 ], |
(b) | limn fn′(1) = 1 ≠ (limn fn)′ (1). |
Übung 15
Zeigen Sie, dass für alle x ∈ ] −1, 1 [ gilt:
log (1 + x1 − x) = 2 ∑n x2 n + 12n + 1.
Gewinnen Sie hieraus eine weitere Reihendarstellung für log(2).
Übung 16
Zeigen Sie ohne Verwendung des Abelschen Grenzwertsatzes, dass
log(2) = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 ± …,
indem Sie zeigen, dass die Logarithmus-Reihe
∑n = 1 (−1)n − 1n xn
gleichmäßig auf [ 0, 1 ] konvergiert.
Übung 17
Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der komplexen Potenzreihe
∑n ≥ 1 znn2.
Übung 18
Sei f : ] −1, 1 [ → ℝ definiert durch
f (x) = für alle x mit |x| < 1.
(a) | Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklung ∑n an xn von f. |
(b) | Bestimmen Sie mit Hilfe von (a) die Potenzreihenentwicklung ∑n bn xn von arcsin : ] −1, 1 [ → ℝ. |
[ Betrachten Sie die Potenzreihenentwicklung von (1 + y)−1/2 und setzen Sie dann y = − x2. Der Satz über das gliedweise Differenzieren liefert (b). ]