Weitere Beweise der Irrationalität von
Im zehnten Buch der „Elemente“ des Euklid findet sich ein Beweis der Irrationalität von , der sich in moderner Lesart wie folgt darstellen lässt:
Klassischer Beweis der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2
Wir nehmen an, dass = n/m für natürliche Zahlen n und m gilt.
Weiter nehmen wir an, dass der Bruch n/m gekürzt ist, sodass also n oder m ungerade ist. Es gilt n2 = 2 · m2. Also ist n2 und damit auch n selbst gerade. Dann ist aber n2 durch 4 teilbar. Wegen m2 = n2/2 ist dann aber m2 gerade. Also ist auch m gerade, Widerspruch.
Ein ganz anderer Ansatz ist:
Beweis mit Hilfe des Prinzips des kleinsten Elements
Annahme nicht. Dann gibt es ein kleinstes n ∈ ℕ, für welches ein m ∈ ℕ existiert mit (m/n)2 = 2. Dann ist m > n und m < 2n. Also sind
a = m − n und b = 2n − m
positive natürliche Zahlen. Wegen m2 = 2n2 ist
2a2 = 2m2 − 4nm + 2n2 = 4n2 − 4nm + m2 = b2,
also gilt (b/a)2 = 2. Wegen
a = m − n < 2n − n = n,
ist dies ein Widerspruch zur minimalen Wahl von n.