Summen und Produkte

 Aus den Assoziativgesetzen folgt, dass wir Klammern weglassen können, etwa in x + y + z oder in x₁ · x₂ · x₃ · x₄. Weiter verabreden wir, dass die Multiplikation stärker binden soll als die Addition und dass wir in symbolischen Ausdrücken den Malpunkt weglassen können. Damit ist x y + z eine Kurzform von (x · y) + z. Allgemein fallen viele Klammern weg. Terme werden kürzer und besser lesbar.

 Iterierte Summen- und Produktbildungen notieren wir informell als x₁ + … + x_n und x₁ · … · x_n. Daneben notieren wir diese Summen und Produkte in der Form

∑_{1 ≤ i ≤ n} x_i  bzw.  ∏_{1 ≤ i ≤ n} x_i.

Dabei steht das große griechische Sigma für „Summe“ und das große griechische Pi für „Produkt“. Gleichwertige Notationen sind

∑ⁿ_i = 1 x_i,  ∏ⁿ_i = 1 x_i,  ∑_{i  ∈  { 1, …, n }} x_i,  ∏_{i  ∈  { 1, …, n }} x_i.

Der Leser wird auch keine Schwierigkeiten haben, ∑_{4 ≤ k ≤ 10, k gerade} x_k zu verstehen.

 Formal kann man die Summe und das Produkt rekursiv wie folgt einführen:

∑_{1 ≤ i ≤ 0} x_i  =  0,  ∑_{1 ≤ i ≤ n + 1} x_i  =  (∑_{1 ≤ i ≤ n} x_i) + x_n + 1  für alle n,

∏_{1 ≤ i ≤ 0} x_i  =  1,  ∏_{1 ≤ i ≤ n + 1} x_i  =  (∏_{1 ≤ i ≤ n} x_i) · x_n + 1  für alle n.

Die Konvention, dass die „leere Summe“ gleich Null und das „leere Produkt“ gleich Eins ist, ist an vielen Stellen nützlich.

 Sind x_{i, j} reelle Zahlen für 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ m, so gilt

∑_{1 ≤ i ≤ n} ∑_{1 ≤ j ≤ m} x_{i, j}  =  ∑_{1 ≤ j ≤ m} ∑_{1 ≤ i ≤ n} x_{i, j},

da in beiden Summen dieselben Summanden auftauchen und wir aufgrund des Kommutativgesetzes beliebig umordnen dürfen. Allgemeiner dürfen endlich viele Summanden in beliebiger Reihenfolge aufsummiert werden. Später werden wir auch unendliche Summationen durchführen und sehen, dass im Unendlichen die Reihenfolge der Summation eine Rolle spielen kann.

 Auch die Exponentiation kann rekursiv eingeführt werden. Für jedes x definieren wir rekursiv

x⁰  =  1,  x^n + 1  =  xⁿ · x  für alle n  ∈  ℕ.

Dann gilt xⁿ = ∏_{1 ≤ i ≤ n} x (was man auch zur Definition von xⁿ verwenden könnte). Weiter sei x⁻ⁿ = 1/xⁿ für alle n  ∈  ℕ und alle x ≠ 0. Damit ist die Exponentiation x^a mit ganzzahligen Exponenten a auf der Basis der Körperaxiome eingeführt, und es lassen sich die üblichen Rechenregeln beweisen. Später werden wir mit Hilfe genuin analytischer Überlegungen auch allgemeinere Exponenten wie $\sqrt{2}$ zulassen. Hierfür genügen die Körperaxiome nicht mehr.