Ausblick: Endliche Körper
Nachdem wir uns mit den Körperaxiomen angefreundet haben, wollen wir noch andersartige Beispiele für Körper kennenlernen. Wir fragen:
Wir hatten 0 ≠ 1 als Axiom gefordert. Wie zeigt man, dass 1 + 1 ≠ 0 ?
Die Antwort lautet:
1 + 1 ≠ 0 lässt sich mit Hilfe der Körperaxiome (K1) − (K10) nicht beweisen!
Ähnlich ist auch 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 möglich. Beispiele liefert das Rechnen auf ℤ modulo einer Primzahl p. Hierzu seien Rp = { 0, …, p − 1 } und a +p b und a ·p b für alle a, b ∈ Rp definiert als der eindeutige Rest r ∈ Rp der Division von a + b bzw. a · b durch p. Für p = 2 und p = 7 erhalten wir die folgenden Additions- und Multiplikationstafeln:
+2 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
·2 | 0 | 1 |
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 |
+7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 |
3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 |
4 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 |
5 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
6 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
·7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |
3 | 0 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4 |
4 | 0 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 |
5 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |
6 | 0 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Für R2, R7 oder allgemeiner für Rp, p prim, kann man alle Körperaxiome nachweisen. Das Rechnen modulo einer zusammengesetzten Zahl q = n m mit n, m ≥ 2 liefert dagegen keinen Körper. Denn hier gilt n ·q m = 0. In jedem Körper gilt aber Nullteilerfreiheit, d. h. x · y ≠ 0 für alle x, y ≠ 0 (vgl. die Übungen). Rq erfüllt aber alle Körperaxiome außer (K7), sodass in der Sprache der Algebra ein kommutativer Ring (mit Eins) vorliegt.
Die sog. Restklassenkörper Rp zeigen, dass wir mit Aussagen wie „(K1) − (K10) implizieren alle üblichen Rechengesetze“ vorsichtig sein müssen. Diese durchaus angemessene Sprechweise beinhaltet nicht, dass 1 + 1 ≠ 0 ist. Das Modulo-Rechnen zeigt, dass es natürliche algebraische Strukturen gibt, in denen ein Aufsummieren der 1 zur 0 führen kann. Mit Blick auf die rationalen oder reellen Zahlen ist andererseits klar, dass wir noch nicht fertig sind. Wir brauchen zusätzliche Axiome, um Strukturen wie ℚ oder ℝ genauer zu beschreiben. Solche Axiome werden wir nun kennenlernen.