Die Axiome für die reellen Zahlen
Wir stellen die Axiome der reellen Zahlen noch einmal tabellarisch zusammen. Man darf sie als mathematisches Weltkulturerbe bezeichnen.
Die reellen Zahlen sind eine Struktur der Form (ℝ, +, ·, <) mit zwei ausgezeichneten Elementen 0 ∈ ℝ und 1 ∈ ℝ derart, dass für alle x, y, z ∈ ℝ gilt:
| (K1) | x + (y + z) = (x + y) + z, (Assoziativgesetz für die Addition) |
| (K2) | x + 0 = x, (Neutralität der Null) |
| (K3) | es gibt ein x′ mit x + x′ = 0, (Existenz additiver Inverser) |
| (K4) | x + y = y + x, (Kommutativgesetz für die Addition) |
| (K5) | x · (y · z) = (x · y) · z, (Assoziativgesetz für die Multiplikation) |
| (K6) | x · 1 = x, (Neutralität der Eins) |
| (K7) | x ≠ 0 impliziert es gibt ein x′ mit x · x′ = 1, (Existenz multiplikativer Inverser) |
| (K8) | x · y = y · x, (Kommutativgesetz für die Multiplikation) |
| (K9) | x · (y + z) = (x · y) + (x · z), (Distributivgesetz) |
| (K10) | 0 ≠ 1, (Verschiedenheit der neutralen Elemente) |
| (O1) | non (x < x), (Irreflexivität) |
| (O2) | x < y und y < z impliziert x < z, (Transitivität) |
| (O3) | x < y oder x = y oder y < x, (Vergleichbarkeit) |
| (A1) | x < y impliziert x + z < y + z, (erstes Anordnungsaxiom) |
| (A2) | 0 < x, y impliziert 0 < x · y, (zweites Anordnungsaxiom) |
| (V) | ist X ⊆ ℝ nichtleer und beschränkt, so existieren das Supremum und das Infimum von X. (Vollständigkeitsaxiom) |
Die ersten zehn Aussagen sind die Körperaxiome, die die vier Grundrechenarten und ihre Rechenregeln etablieren. Es folgen drei Aussagen, die die reellen Zahlen linear ordnen, und zwei Aussagen, die die Ordnung und die Arithmetik verbinden. Die letzte Aussage schließlich ist ein „Power-Axiom“, das ℝ von den ℚ oder 𝔸 abhebt. Es sorgt sowohl dafür, dass die Lücken von ℚ geschlossen werden, als auch dafür, dass keine infinitesimalen Größen existieren. Da ℚ dicht in ℝ liegt, bleibt der Übergang von ℚ zu ℝ unter der Kontrolle von ℚ.