Komplexe Quadratwurzeln

 Schließlich definieren wir noch:

Definition (komplexe Quadratwurzel)

Eine komplexe Zahl w heißt eine komplexe Quadratwurzel einer komplexen Zahl z, falls w2 = z gilt.

 Mit w ist immer auch −w eine Quadratwurzel von z. Darüber hinaus existieren keine weiteren Quadratwurzeln von z.

Die elementare Wurzelnotation

Sind w, z  ∈  ℂ, so bedeutet der Ausdruck „w = z“, dass w eine komplexe Quadratwurzel von z ist, d. h., w ist eine der beiden komplexen Zahlen, deren Quadrat gleich z ist.

Sparsam und mit Kommentaren eingesetzt führt dieser notationelle Missbrauch des Wurzelzeichens nicht zu Fehlern, und speziell sind Aussagen wie

„Für w = ± z gilt …“

unzweideutig. Eine echte komplexe Wurzelfunktion definieren wir für interessierte Leser gleich unten. Sie wird in diesem Text nicht wirklich verwendet.

 Mit Hilfe der geometrischen Multiplikationsregel können wir die komplexen Quadratwurzeln einer komplexen Zahl z leicht angeben: Wir „wurzeln“ die reelle Länge und halbieren den Winkel von z. Wir erhalten so eine komplexe Quadratwurzel w von z. Die andere Quadratwurzel ist −w.

analysis1-AbbID22

 Eine rein algebraische Bestimmung der komplexen Quadratwurzeln werden wir im nächsten Kapitel kennenlernen.

Komplexe Quadratwurzeln als Funktionen

 Zum Abschluss diskutieren wir noch kurz, wie eine komplexe Wurzelfunktion eingeführt werden kann. Bei der Definition der reellen Quadratwurzelfunktion haben wir das Intervall [ 0, ∞ [ gewählt, um die die Quadratfunktion zu injektivieren und dann umzukehren. Analog bevorzugen wir in den komplexen Zahlen die rechte Halbebene. Wir definieren:

Definition (komplexe Quadratwurzelfunktion, funktionale Wurzelnotation)

Sei ℍ = { z  ∈  ℂ | Re(z) > 0 } die offene rechte Halbebene. Weiter sei ℍ+ = ℍ ∪ { i y | y ≥ 0 } die Erweiterung von ℍ um die nichtnegative imaginäre Achse. Schließlich sei ℂ− = ℂ − ] −∞, 0 ] die geschlitzte Ebene. Dann definieren wir die Wurzelfunktionen sqrt : ℂ− → ℂ und sqrt+ : ℂ → ℂ durch

sqrt(z)  =  „das eindeutige w  ∈  ℍ mit w2 = z“  für alle z  ∈  ℂ−,

sqrt+(z)  =  „das eindeutige w  ∈  ℍ+ mit w2 = z“  für alle z  ∈  ℂ.

Wir schreiben auch z anstelle von sqrt+(z).

 Die Funktion sqrt ist die Einschränkung von sqrt+ auf ℂ−. In der Funktionentheorie bevorzugt man offene Definitionsbereiche, sodass in analytischen Kontexten sqrt verwendet wird und nicht sqrt+. Als „halbe Ebene“ für Wurzelwerte eignet sich aber ℍ+. Mit diesen Notationen gilt zum Beispiel

0  =  sqrt+(0)  =  0,  −1  =  sqrt+(−1)  =  i,  −2  =  sqrt+(− 2)  =  2 i,  …

Für die komplexen Wurzelfunktionen gelten viele, aber nicht alle der vertrauten Regeln des Reellen. So ist zum Beispiel die Formel

(+)  zw  =  z w

nur noch eingeschränkt gültig. In der Rechnung

„1  =  1  =  (−1)·(−1)  =  −1  ·  −1  =  i2  =  −1“

liegt der Fehler beim dritten Gleichheitszeichen. Die Verwendung der Formel (+) ist hier nicht korrekt. Man kann aber zeigen, dass (+) korrekt ist, wenn z und w Elemente von ℍ+ sind. Für eine ausführliche Diskussion der komplexen Quadratwurzelfunktionen verweisen wir den Leser auf die „Funktionentheorie“ des Autors.