Bestimmung der dritten Einheitswurzeln

 Als Anwendung bestimmen wir die Lösungen der komplexen Gleichung

z³  −  1  =  0  oder gleichwertig  z³  =  1.

Diese Lösungen heißen auch die dritten Einheitswurzeln. Eine offensichtliche Lösung ist w₁ = 1. Abspalten dieser Nullstelle liefert

z³ − 1  =  (z − 1) (z² + z + 1).

Die Lösungen von z² + z + 1 lauten nach dem obigen Satz

w_2,3  =  $\frac{-1\text{±}\sqrt{1-4}}{2}$  =  $\frac{-1\text{±}\sqrt{-3}}{2}$,

wobei wieder $\sqrt{-3}$ eine Lösung von z² = −3 in ℂ ist. Eine solche Lösung ist aber i $\sqrt{3}$. Damit sind die Lösungen von z³ = 1 genau die komplexen Zahlen

w₁  =  1,  w₂  =  $\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$,  w₃  =  w₂  =  $\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$.

Nach der Produktregel gilt |w³| = |w|³ für alle komplexen Zahlen w, und damit haben alle Lösungen den Betrag 1. Zudem gilt

|w₁  −  w₂|  =  |w₁  −  w₃|  =  |w₂  −  w₃|  =  $\sqrt{3}$.

Die komplexen Zahlen w₁, w₂, w₃ haben also paarweise denselben Abstand voneinander. Dies zeigt:

 Ein analoges Ergebnis gilt für die n-ten Einheitswurzeln, also die Lösungen von zⁿ = 1 in ℂ. Sie bilden die Ecken des regelmäßigen n-Ecks in K, dem der Punkt 1 angehört. Der Leser beachte, dass sich dieses Ergebnis aus der geometrischen Multiplikationsregel ganz ohne Rechnung gewinnen lässt. Allgemeiner lässt sich mit ihrer Hilfe und der n-ten reellen Wurzelfunktion die Gleichung zⁿ = c für beliebige c  ∈  ℂ lösen. Ein wichtiger Spezialfall des Fundamentalsatzes der Algebra lässt sich damit überraschend leicht geometrisch einsehen.