Limesregeln für Reihen
Die Limesregeln für die Konvergenz von Folgen führen zu Regeln für die Konvergenz von Reihen:
Satz (Addition, Subtraktion und Skalierung von unendlichen Reihen)
Seien ∑n xn und ∑n yn konvergente Reihen in ℝ. Dann gilt:
(a) | ∑n (xn + yn) = ∑n xn + ∑n yn, |
(b) | ∑n axn = a ∑n xn für alle a ∈ ℝ, |
(c) | ∑n (xn − yn) = ∑n xn − ∑n yn. |
Beweis
Für alle n gilt
∑k ≤ n (xk + yk) = ∑k ≤ n xk + ∑k ≤ n yk.
Damit erhalten wir
| ∑n (xn + yn) | = limn ∑k ≤ n (xk + yk) = limn (∑k ≤ n xk + ∑k ≤ n yk) |
| = limn ∑k ≤ n xk + limn ∑k ≤ n yk = ∑n xn + ∑n yn. |
Die Aussage (b) wird ähnlich bewiesen, und die Aussage (c) folgt aus (a) und (b) mit a = −1.
Der Leser wird vielleicht eine Produktregel vermissen. Hier ist aber Vorsicht geboten. Das Produkt
∑n xn · ∑n yn = (x0 + x1 + x2 + …) · (y0 + y1 + y2 + …)
zweier Reihen hat bei einem naiven distributiven Ausmultiplizieren die Gestalt ∑n, m ∈ ℕ xnym. In dieser Darstellung ist aber nicht angegeben, in welcher Reihenfolge die abzählbar vielen Paare (n, m) der Menge ℕ × ℕ aufsummiert werden, und es ist keineswegs klar, dass bei einer unendlichen Summation die Reihenfolge der Summanden keine Rolle spielt. Für das Produkt könnte man konkret
∑n xn · ∑n yn = limk (∑n, m ≤ k xn ym)
setzen, was der Bildung von Rechtecken { 0, …, k }2 entspricht, oder aber
∑n xn · ∑n yn = limk (∑n ≤ k xn yk − n),
was der Diagonalaufzählung von ℕ2 entspricht. Wir werden Summationsfragen und Produkte von Reihen später genauer untersuchen. Für das Folgende genügen uns die Addition, Subtraktion und Skalierung von Reihen.