Elementare Bestimmung von unendlichen Summen

 Reihen lassen sich nur selten einfach berechnen. Wir stellen verschiedene elementare Methoden vor und zeigen mit jeder Methode:

Methode 1:  Raten der Partialsummen und vollständige Induktion

 Völlig legitim ist es, einige Partialsummen experimentell zu berechnen und dann die allgemeine Form für die Partialsummen s_n zu raten. Mit Hilfe von Induktion lässt sich die Vermutung dann oft leicht verifizieren. Für die Reihe des Satzes berechnen wir

s₁  =  ¹₂,  s₂  =  ¹₂  +  ¹₆  =  ²₃,  s₃  =  ²₃  +  ¹₁₂  =  ³₄,

s₄  =  ³₄  +  ¹₂₀  =  ⁴₅,  s₅  =  ⁴₅  +  ¹₃₀  =  ⁵₆. 

Wir vermuten nun, dass s_n = n/(n + 1) für alle n ≥ 1 und beweisen dies durch vollständige Induktion. Damit gilt also:

∑_n ≥ 1 ¹_{n(n + 1)}  =  lim_n ≥ 1 ⁿ_n + 1  =  1.

Methode 2:  Algebraische Bestimmung der Partialsummen

 Manchmal lassen sich die Partialsummen durch algebraische Umformung bestimmen. Für die Reihe des Satzes zeigt die Partialbruchzerlegung

¹_{n (n + 1)}  =  ¹_n  −  ¹_n + 1  für alle n ≥ 1, dass

s_n  =  ∑_{1 ≤ k ≤ n} ¹_{k (k + 1)}  =  ∑_{1 ≤ k ≤ n} (¹_k − ¹_k + 1)  =  1 − ¹_n + 1  =  ⁿ_n + 1.

Wie bei der ersten Methode folgt, dass die Reihe gegen 1 konvergiert.

 Mit ähnlichen Überlegungen kann man die Partialsummen für die Summanden x_n = 1/(n (n + 1) (n + 2)), n ≥ 1, berechnen und damit zeigen, dass

∑_n ≥ 1 ¹_{n (n + 1) (n + 2)}  =  ¹_{1 · 2 · 3}  +  ¹_{2 · 3 · 4}  +  ¹_{3 · 4 · 5}  +  …  =  ¹₄.

Methode 3:  Reverse Engineering

 Für eine beliebige Folge (s_n)_{n  ∈  ℕ} reeller Zahlen können wir durch Differenzenbildung immer eine Folge (x_n)_{n  ∈  ℕ} finden, die (s_n)_{n  ∈  ℕ} als Folge der Partialsummen besitzt. Wir setzen hierzu

x₀  =  s₀,  x_n  =  s_n − s_n − 1  für alle n ≥ 1.

Dann gilt für alle n:

∑_k ≤ n x_k  =  x₀  +  ∑_{1 ≤ k ≤ n} x_k  =  s₀  +  ∑_{1 ≤ k ≤ n} (s_k − s_k − 1)  =  s₀  +  (s_n − s₀)  =  s_n,

sodass (s_n)_{n  ∈  ℕ} = ∑_n ∈ ℕ x_n. Ist nun der Limes s von (s_n)_{n  ∈  ℕ} bekannt, so gilt für die konstruierten Summanden x_n, dass

∑_n x_n  =  lim_n s_n  =  s.

 Nach Definition ist jede Reihe eine Folge. Die Konstruktion der dritten Methode zeigt, dass auch die Umkehrung gilt:

Jede Folge ist eine Reihe.

Der Leser betrachte hierzu nochmal obige x_n-s_n-Diagramme. Gegeben die Summanden x_n lassen sich die Partialsummen s_n berechnen. Genauso lassen sich aber die x_n berechnen, wenn die s_n gegeben sind.