Unendliche Produkte
In jedem Körper sind ∑k ≤ n xk und ∏k ≤ n xk definiert. Nachdem wir in ℝ auch gewisse unendliche Summen definieren können, liegt es nahe, auch unendliche Produkte einzuführen. Solche Produkte spielen (in ihrer komplexen Form) in der Funktionentheorie und in der analytischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle, und wir wollen sie hier wenigstens kurz ansprechen. Die Konstruktion wiederholt und vertieft auch die Begriffsbildungen zu unendlichen Reihen.
In Analogie zur unendlichen Summation definieren wir:
Definition (unendliches Produkt)
Sei (xn)n ∈ ℕ eine Folge in ℝ. Dann heißt
∏n xn = (∏k ≤ n xk)k ≤ n
das unendliche Produkt mit Faktoren xn und Partialprodukten pn = ∑k ≤ n xk.
Konvergiert die Folge der Partialprodukte, so setzen wir
∏n xn = x0 · x1 · x2 · … · xn · … = limn pn
und nennen ∏n xn das Produkt der xn.
Ist p = ∏n xn ≠ 0, so gilt xn ≠ 0 und pn ≠ 0 für alle n. Nach den Limesregeln gilt
limn xn = limn pnpn − 1 = pp = 1 (mit p−1 = 1).
Die Faktoren konvergieren bei einem Produktwert p ≠ 0 also gegen 1.
Beispiele
(a) | ∏n ≥ 2 (1 − 1/n) = 1/2 · 2/3 · 3/4 · … = limn ≥ 2 1/n = 0, |
(b) | ∏n ≥ 2 (1 − 1/n2) = 3/4 · 8/9 · 15/16 · … = limn (n + 1)/(2n) = 1/2 limn ≥ 2 (1 + 1/n) = 1/2. |
Bemerkung: Konvergenz im strengeren Sinn
Die obige Definition hat den Vorteil der Analogie zur unendlichen Summation, dafür aber kalkulatorische Nachteile, die mit der Sonderrolle der Null zusammenhängen. Oft verwendet man deswegen auch folgende Definition: ∏n xn heißt konvergent (im strengeren Sinn), falls es ein n0 gibt mit:
(a) | xn ≠ 0 für alle n ≥ n0, |
(b) | limn ≥ n0 pn existiert und limn ≥ n0 pn ≠ 0. |
In diesem Fall setzt man wieder ∏n xn = limn pn. Bei dieser Definition ist ein konvergentes Produkt genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.