5. Konvergenzkriterien für Reihen
Wir etablieren Kriterien, mit denen sich unendliche Reihen auf Konvergenz oder Divergenz überprüfen lassen. Den Ausgangspunkt bilden einige zum Teil schon verwendete Beobachtungen.
Satz (elementare Konvergenzkriterien für unendliche Reihen)
Sei ∑n xn eine unendliche Reihe in ℝ, und sei sn = ∑k ≤ n xk für alle n. Dann gilt:
(a) | Die Reihe ∑n xn konvergiert genau dann, wenn (sn)n ∈ ℕ eine Cauchy-Folge ist, d. h., wenn gilt: ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ m ≥ n0 |∑m ≤ k ≤ n xk| < ε. (Cauchy-Bedingung für Reihen) |
(b) | Konvergiert ∑n xn, so ist limn xn = 0. (Nullfolgenbedingung) |
(c) | Für alle k konvergiert ∑n xn genau dann, wenn ∑n ≥ k xn konvergiert. |
(d) | Gilt xn = yn für alle n größergleich einem n0, so konvergiert ∑n xn genau dann, wenn ∑n yn konvergiert. |
Die harmonische Reihe zeigt, dass die Nullfolgenbedingung notwendig, aber nicht hinreichend für die Konvergenz einer Reihe ist.
Bei der Diskussion des Grenzwertbegriffs haben wir gesehen, dass die monotonen Folgen und die Pendelfolgen einfache Konvergenzbedingungen zulassen und dass wir ihre Grenzwerte einfach bestimmen können. Diese Überlegungen übertragen wir nun auf Reihen.
Eine Reihe ∑n xn = (sn)n ∈ ℕ = (∑k ≤ n xk)n ∈ ℕ in ℝ ist genau dann monoton steigend, wenn xn ≥ 0 für alle n ≥ 1 gilt. Wir erhalten also:
Satz (Konvergenz monotoner Reihen)
Sei (xn)n ∈ ℕ eine Folge in ℝ mit xn ≥ 0 für alle n ≥ 1. Dann konvergiert ∑n xn genau dann, wenn (sn)n ∈ ℕ nach oben beschränkt ist. In diesem Fall ist
∑n xn = supn sn.
Eine analoge Aussage gilt für Summanden xn mit xn ≤ 0 für alle n ≥ 1.
Als Nächstes betrachten wir unendliche Reihen, deren Partialsummenfolgen Pendelfolgen sind. Dabei lernen wir auch den Begriff der absoluten Konvergenz kennen.