5. Konvergenzkriterien für Reihen

Der Wert einer unendlichen Reihe ∑_n x_n in den reellen Zahlen ist im Allgemeinen schwer zu berechnen. Bescheidener fragen wir daher zuerst, ob die Reihe überhaupt konvergiert. In diesem Kapitel etablieren wir Kriterien, mit denen sich viele unendliche Reihen auf Konvergenz oder Divergenz überprüfen lassen. Die wichtigsten sind:

(1)	Das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen.

(2)	Das Majoranten- und Minorantenkriterium.

(3)	Die Majorisierung durch eine geometrische Reihe.

(4)	Das Wurzelkriterium und das Quotientienkriterium, die beide die Majorisierung durch eine geometrische Reihe verwenden.

(5)	Das Verdichtungskriterium von Cauchy.

(6)	Ein durch Abel-Summation gewonnenes Kriterium für Reihen der Form ∑_n x_n y_n.

Für eine Reihe ∑_n x_n bezeichnet im Folgenden wieder s_n = ∑_n ≤ k x_k ihre n-te Partialsumme. Damit konvergiert ∑_n x_n nach Definition genau dann, wenn der Grenzwert lim_n s_n der Partialsummen existiert. Liegen zwei Reihen ∑_n x_n und ∑_n y_n vor, so sind s_n und t_n unsere bevorzugten Notationen für die zugehörigen Partialsummen.

Da die Konvergenz einer Reihe nicht von endlich vielen Summanden abhängt, können wir immer ein Anfangsstück streichen oder ändern, wenn es uns nur darauf ankommt, die Konvergenz oder Divergenz nachzuweisen. Viele Kriterien werden daher in der Form „ab einem Index n₀ gilt eine gute Bedingung“ formuliert. Um die Aussagen einfach zu halten, wird dies manchmal nicht explizit vermerkt (etwa im Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen).