Absolute und bedingte Konvergenz
Die alternierende harmonische Reihe und die Leibniz-Reihe zeigen, dass eine Reihe ∑n xn konvergieren kann, während ∑n |xn| divergiert. Wir definieren hierzu:
Definition (absolute und bedingte Konvergenz)
Eine Reihe ∑n xn heißt absolut konvergent, falls ∑n |xn| < ∞. Sie heißt bedingt konvergent, wenn sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.
Die Bedingung ∑n |xn| < ∞ ist äquivalent zur Konvergenz von ∑n |xn|.
Aus der absoluten Konvergenz folgt die Konvergenz (Übung). Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Die alternierende harmonische Reihe und die Leibniz-Reihen konvergieren bedingt.
Der Unterschied zwischen bedingter und absoluter Konvergenz wird durch folgende Charakterisierung besonders deutlich, deren Beweis dem Leser überlassen sei:
Satz (Charakterisierung der bedingten Konvergenz)
Sei ∑n xn eine konvergente Reihe in ℝ. Dann sind äquivalent:
(a) | ∑n xn konvergiert bedingt. |
(b) | Die Summen über alle positiven und alle negativen Summanden divergieren, d. h. ∑n max(0, xn) = ∞ und ∑n min(0, xn) = −∞. |