Geometrische Reihen als Majoranten

Das Majorantenkriterium und die geometrische Reihe liefern:

Satz (Majorisierung durch eine geometrische Reihe)

Sei ∑_n x_n eine Reihe in ℝ. Weiter seien x  ∈  [ 0, 1 [, a ≥ 0 und n₀  ∈  ℕ mit

|x_n| ≤ a xⁿ für alle n ≥ n₀.

Dann konvergiert ∑_n x_n absolut, und es gilt

∑_{n ≥ n₀} |x_n| ≤ a $\frac{x^{n_{0}}}{1 - x}$ .

Im Fall n₀ = 0 gilt speziell

∑_n |x_n| ≤ ^a_1 − x.

Beweis

Die Konvergenz folgt aus dem Majorantenkriterium. Weiter gilt

∑_{n ≥ n₀} \|x_n\|	≤ a ∑_{n ≥ n₀} xⁿ = a (∑_n xⁿ − ∑_k < n₀ xⁿ)
	= a (¹_1 − x − $\frac{1 - x^{n_{0}}}{1 - x}$ ) = a $\frac{x^{n_{0}}}{1 - x}$ .

Hieraus erhalten wir:

Korollar (Wurzelkriterium)

Sei ∑_n x_n eine Reihe in ℝ. Dann gilt:

(a)	Gibt es ein x  ∈  [ 0, 1 [ und ein n₀ mit ⁿ $\sqrt{{\|x}_{n} \|}$ ≤ x für alle n ≥ n₀, (Wurzelbedingung für x) so konvergiert ∑_n x_n absolut. Genauer gilt dann ∑_{n ≥ n₀} \|x_n\| ≤ $\frac{x^{n_{0}}}{1 - x}$ (und ∑_n \|x_n\| ≤ (1 − x)⁻¹ im Fall n₀ = 0)

(b)	Gilt ⁿ $\sqrt{{\|x}_{n} \|}$ ≥ 1 für unendlich viele n, so divergiert ∑_n x_n.

Beweis

zu (a): Aufgrund der Wurzelbedingung gilt |x_n| ≤ xⁿ für alle n ≥ n₀. Damit folgt die Aussage aus dem Satz (mit a = 1).

zu (b): Gilt (b), so ist |x_n| ≥ 1 unendlich oft und damit (x_n)_n ∈ ℕ keine Nullfolge. Also ist ∑_n x_n divergent.

Der ungünstige Fall

Durch das Wurzelkriterium wird der Fall

ⁿ $\sqrt{{|x}_{n} |}$ < 1 für alle n ≥ n₀, sup_n ≥ n₀ ⁿ $\sqrt{{|x}_{n} |}$ = 1

nicht abgedeckt. Die Reihen ∑_n ≥ 1 1/n und ∑_n ≥ 1 1/n² zeigen, dass in diesem Fall sowohl Divergenz als auch Konvergenz vorliegen kann. Das Wurzelkriterium ist nicht anwendbar (vgl. auch die Diagramme unten).

Auch das folgende schwächere, aber oft einfacher zu überprüfende Kriterium nutzt die Majorisierung durch eine geometrische Reihe:

Satz (Quotientenkriterium)

Seien ∑_n x_n eine Reihe in ℝ, n₀  ∈  ℕ und x_n ≠ 0 für alle n ≥ n₀. Dann gilt:

(a)	Gibt es ein x  ∈  [ 0, 1 [ mit \| ^x_n + 1_{x_n} \| ≤ x für alle n ≥ n₀, (Quotientenbedingung für x) so konvergiert ∑_n x_n absolut. Genauer gilt dann ∑_{n ≥ n₀} \|x_n\| ≤ $\frac{{\|x}_{n_{0}} \|}{1 - x}$ .

(b)	Existiert ein n₀ mit \|x_n + 1/x_n\| ≥ 1 für alle n ≥ n₀, so divergiert ∑_n x_n.

Beweis

Wir zeigen (a) für den Fall n₀ = 0. Der Rest sei dem Leser überlassen. Es gelte also die Quotientenbedingung für x für alle n. Dann gilt

|x₁| ≤ |x₀| x, |x₂| ≤ |x₁| x ≤ |x₀| x², …

Induktiv folgt

(+) |x_n| ≤ |x₀| xⁿ für alle n.

Also ist die Reihe |x₀| ∑_n xⁿ eine Majorante von ∑_n x_n, sodass

∑_n |x_n| ≤ |x₀| ∑_n x_n = ^|x₀|_1 − x.

Die Bedingung „|x_n + 1/x_n| ≤ x“ führt also zur Majorisierung der Reihe ∑_n x_n durch eine um |x₀| skalierte geometrische Reihe. Diese Majorisierung ist aber nicht äquivalent zu „|x_n + 1/x_n| ≤ x“, da sie ja zum Beispiel für Reihen erfüllt sein kann, für die x_n = x_n + 1 für unendlich viele n gilt. Damit nutzt das Quotientenkriterium das Potential der geometrischen Majorisierung nicht voll aus.

Der ungünstige Fall

Durch das Quotientenkriterium wird der Fall

| ^x_n + 1_{x_n} | < 1 für alle n ≥ n₀, sup_n ≥ n₀ | ^x_n + 1_{x_n} | = 1

nicht abgedeckt. Die Reihen ∑_n ≥ 1 1/n und ∑_n ≥ 1 1/n² liefern erneut Beispiele. Das Quotientenkriterium ist nicht anwendbar.

Dem Leser wird vielleicht aufgefallen sein, dass die Divergenzaussage (b) im Quotientenkriterium anders ist als im Wurzelkriterium. In der Tat ist die Bedingung „|x_n + 1/x_n| ≥ 1 für unendlich viele n“ nicht hinreichend für die Divergenz der Reihe.

Beispiel

Wir betrachten die gegen 2 konvergente Reihe

¹_2¹ + ¹_2⁰ + ¹_2³ + ¹_2² + ¹_2⁵ + ¹_2⁴ + …,

die aus der geometrischen Reihe für 1/2 durch paarweises Vertauschen der Summanden hervorgeht. Für diese Reihe gilt

lim_n ⁿ $\sqrt{{|x}_{n} |}$ = 1/2.

Die Wurzelbedingung gilt also zum Beispiel für x = 3/4. Das Quotientenkriterium ist nicht anwendbar, da |x_n + 1/x_n| = 2 für unendlich viele n.

WK:	Konvergenz
QK:	Konvergenz

WK:	Divergenz
QK:	Divergenz

WK:	Divergenz
QK:	nicht anwendbar

WK:	nicht anwendbar
QK:	nicht anwendbar

In den Diagrammen ist y_n = ⁿ $\sqrt{{|x}_{n} |}$ oder y_n = |x_n + 1/x_n|, je nachdem, ob das Wurzelkriterium (WK) oder das Quotientenkriterium (QK) für die Reihe ∑_n x_n verwendet wird. Zudem ist angegeben, welche Aussage die Kriterien liefern.