Produkte von Reihen

Konvergieren die Reihen ∑_n x_n und ∑_n y_n, so stellt sich die Frage nach der Existenz des Reihenprodukts ∑_n, m x_ny_m. Wir betrachten hierzu zunächst die Rechteck-Aufzählung g : ℕ → ℕ² des Gitters ℕ × ℕ:

Die ersten Elemente der Rechteck-Aufzählung g(0), g(1), g(2), … sind:

(0, 0),

(0, 1), (1, 0), (1, 1),

(0, 2), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2),

(0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), …

Das (ℕ × ℕ)-Gitter wird durch die Aneinanderreihung rechtwinkliger Segmente R(n) ausgeschöpft, deren Spitzen auf der Diagonale von ℕ² liegen. Diese Segmente sind für alle n  ∈  ℕ definiert durch

R(n)	= { (i, n) \| i < n } ∪ { (n, i) \| i < n } ∪ { (n, n) }
	= { (i, k) \| max(i, k) = n } ⊆ ℕ × ℕ.

Die wichtigste Eigenschaft dieser Aufzählung ist, dass ein Paar (n₀, m₀) vor einem Paar (n₁, m₁) durchlaufen wird, falls das Maximum von n₀ und m₀ kleiner ist als das Maximum von n₁ und m₁. Wie genau die Segmente R(n) durchlaufen werden spielt im Folgenden keine Rolle. Um konkret zu sein, wählen wir die Aufzählung, die zunächst entlang der Waagrechten (ohne das Diagonalelement (n, n)) und dann entlang der Senkrechten von R(n) bis einschließlich (n, n) verläuft.

Für die Rechteck-Aufzählung können wir nun leicht zeigen:

Satz (Rechteck-Produkt von Reihen)

Seien ∑_n x_n und ∑_n y_n konvergente Reihen in ℝ. Für alle n sei

r_n = ∑_{(i, j)  ∈  R(n)} x_i y_j = ∑_i < n x_i y_n + ∑_i < n x_n y_i + x_n y_n.

Dann ist ∑_n r_n konvergent und es gilt

∑_n r_n = ∑_n x_n · ∑_n y_n.

Konvergieren ∑_n x_n und ∑_n y_n absolut, so gilt dies auch für ∑_n r_n.

Beweis

Mit s_n = ∑_k ≤ n x_k, t_n = ∑_k ≤ n y_k gilt für alle n nach dem endlichen Assoziativ- und Distributivgesetz:

∑_k ≤ n r_k = ∑_{i, j ≤ n} x_i y_j = s_n t_n.

Damit erhalten wir nach der Limesregel für das Produkt von Folgen:

∑_n r_n = lim_n (s_n t_n) = lim_n s_n · lim_n t_n = ∑_n x_n · ∑_n y_n.

Der Zusatz folgt analog aus

∑_n |r_n| ≤ lim_n ∑_{i, j ≤ n} |x_i| |y_j| = ∑_n |x_n| · ∑_n |y_n|.

(Die Ungleichung der letzten Beweiszeile ist im Allgemeinen strikt.)

Die absolute Konvergenz garantiert nun eine beliebige Summation:

Satz (Produkt absolut konvergenter Reihen)

Seien ∑_n x_n, ∑_n y_n absolut konvergent. Dann konvergiert ∑_n, m x_n y_m. Weiter gilt

∑_n, m x_n y_m = ∑_n x_n · ∑_n y_n.

Beweis

Nach Definition der Konvergenz von Summen über Familien genügt es, eine beliebige Bijektion g : ℕ → ℕ² anzugeben mit

(+) ∑_n |x_g(n)| < ∞ und ∑_n x_g(n) = ∑_n x_n · ∑_n y_n.

Sei hierzu g die Rechteck-Aufzählung von ℕ². Dann gilt

∑_n |x_g(n)| = lim_n ∑_{i, j ≤ n} |x_i| |y_j| = ∑_n |x_n| · ∑_n |y_n| < ∞.

Bei der ersten Gleichheit verwenden wir ein Einholargument (vgl. das folgende Diagramm; ≤ würde hier genügen). Nach endlicher Blockbildung und dem Satz über das Rechteck-Produkt gilt

∑_n x_g(n) = ∑_n r_n = ∑_n x_n · ∑_n y_n.

Zm Einholargument des Beweises betrachten wir:

Sei g : ℕ → ℕ² bijektiv. Dann ist jede Menge { g(0), …, g(m) } Teilmenge einer Menge der Form A(n) = { 1, …, n }². Umgekehrt jedes A(n) Teilmenge einer Menge der Form { g(0), …, g(k) }. Damit gilt:

lim_n ∑_k ≤ n |x_g(k)| ≤ lim_n ∑_{i, j ≤ n} |x_i| |y_j| ≤ lim_n ∑_k ≤ n |x_g(k)|,

sodass

∑_n |x_g(n)| = ∑_n |x_n| · ∑_n |y_n|.

Der Produktsatz ist für bedingt konvergente Reihen im Allgemeinen nicht gültig. Beispiele hierzu werden wir in den Übungen kennenlernen. Das Einholargument für Mengen lässt sich bei negativen Summanden nicht mehr auf die Summen übertragen: Aus „⊆“ folgt im Allgemeinen nicht mehr „≤“ für die zugehörigen Summen.

Eine hübsche Anwendung des Produktsatzes ist:

Korollar (Produkt zweier geometrischer Reihen)

Seien x, y  ∈  ] − 1, 1 [. Dann gilt

∑_{n, m} xⁿ y^m = ¹_{(1 − x) (1 − y)}.

Beweis

Die Reihen ∑_n xⁿ und ∑_n yⁿ konvergieren absolut gegen

¹_1 − x bzw. ¹_1 − y.

Damit konvergiert die Produktreihe ∑_{n, m} xⁿ y^m gegen (1 − x)⁻¹ (1 − y)⁻¹.

Beispiele

(1)	Für y = x, \|x\| < 1, ergibt sich ∑_{n, m} x^n + m = ∑_{n, m} xⁿ x^m = ¹_{(1 − x)²}.

(2)	Für y = −x, \|x\| < 1, erhalten wir ∑_{n, m} (−1)^m x^n + m = ¹_{(1 − x) (1 + x)} = ¹_1 − x² = ∑_n (x²)ⁿ = ∑_n x^2 n.

(3)	1 + ¹₂ + ¹₄ + ¹₅ + ¹₈ + ¹₁₀ + ¹₁₆ + ¹₂₀ + … = ∑_{n, m} ¹_{2ⁿ 5^m} = ¹_1 − 1/2 ¹_1 − 1/5 = 2 · ⁵₄ = ⁵₂.

Der Produktsatz lässt sich durch Induktion auf endlich viele absolut konvergente Reihen verallgemeinern. Wir erhalten dann:

Korollar (Produkt endlich vieler geometrischer Reihen)

Sei k ≥ 1, und seien x₁, …, x_k  ∈  ] −1, 1 [. Dann gilt:

∑_{n₁, …, n_k} x₁^n₁ · … · x_k^n_k = ¹_{(1 − x₁) · … · (1 − x_k)}.

Damit gilt zum Beispiel

∑_{n, m, k} x^{n + m + k} = (1 − x)⁻³ für alle x mit |x| < 1.

Interessant ist, dass sich aus diesem Korollar die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen herleiten lässt:

Satz (Unendlichkeit der Primzahlen)

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis

Seien p₁ < … < p_k Primzahlen. Dann gilt (mit x_i = 1/p_i für i = 1, …, k im Korollar oben):

(+) ∑_{n₁, …, n_k} $\frac{1}{p_{1}^{n_{1}} · … · p_{k}^{n_{k}}}$ = ¹_{(1 − 1/p₁) · … · (1 − 1/p_k)} < ∞.

Auf der linken Seite werden alle Brüche 1/n aufsummiert, deren Nenner aus den Primfaktoren p₁, …, p_k zusammengesetzt ist. Da die harmonische Reihe divergiert, gibt es ein n derart, dass 1/n kein Summand der linken Reihe ist. Dann besitzt n einen Primfaktor p* mit p* ≠ p₁, …, p_k. Dies zeigt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Sicher ist dieser Beweis komplizierter als der Beweis bei Euklid:

Beweis von Euklid

Seien p₁, …, p_k Primzahlen. Wir setzen

n = p₁ · … · p_k + 1.

Dann hat n den Rest 1 bei Division durch p₁ (denn es gilt n = p₁ d + 1 mit d = p₂ … p_k), sodass n nicht durch p₁ teilbar ist. Analoges gilt für p₂, …, p_k. Also ist jeder Primteiler p* von n verschieden von p₁, …, p_k.

In das neue analytische Argument gehen die Divergenz der harmonischen Reihe und der Produktsatz für absolut konvergente Reihen ein. Aber dennoch wird der Beweis von vielen Mathematikern als Praline empfunden. Er deutet den „magischen“ Zusammenhang zwischen der Welt der Primzahlen und der Welt der Riemannschen Zeta-Funktion ∑_n ≥ 1 1/n^s an. Mit Hilfe von (+) kann die Eulersche Produktdarstellung der Zeta-Funktion bewiesen werden (vgl. den Ausblick im vorangehenden Kapitel).