7. Die Exponentialreihe

Wir führen die reelle Exponentialfunktion exp : ℝ → ℝ durch eine unendliche Reihe ein:

exp(x)  =  ∑_n ≥ 0 ^xn_n!  =  1  +  x  +  ^x2₂  +  ^x3₆  +  …  +  ^xn_n!  +  …

Zur Motivation begnügen wir uns zunächst mit schnell gegen Null konvergierenden Koeffizienten, die die Konvergenz der Reihe für jedes x  ∈  ℝ erzwingen. Später reichen wir zwei bessere Motivationen über die Funktionalgleichung

f(x + y)  =  f (x) · f (y)  für alle x, y  ∈  ℝ

und die Differentialgleichung

f ′(x)  =  f (x)  (mit Anfangswert f (0) = 1)

nach (mit Vorgriff auf die Differentialrechnung).

 Das Quotientenkriterium liefert uns die absolute Konvergenz der Reihe. Zusätzlich erhalten wir eine Fehlerabschätzung, die zeigt, dass wir einen Wert exp(x) mit Hilfe der Exponentialreihe sehr effektiv berechnen können. Mit Hilfe des Cauchy-Produkts und des Binomischen Lehrsatzes können wir das Additionstheorem

exp(x + y)  =  exp(x) exp(y)  für alle x, y  ∈  ℝ

zeigen. Dies motiviert die Exponentialschreibweise

e^x  =  exp(x)  für alle x  ∈  ℝ.

Die Konstruktion überträgt sich wörtlich ins Komplexe und liefert die komplexe Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ mit

exp(z)  =  ∑_n ≥ 0 ^zn_n!  =  1  +  z  +  ^z2₂  +  ^z3₆  +  …  +  ^zn_n!  +  …,

e^z + w  =  exp(z + w)  =  exp(z) exp(w)  =  e^z e^w  für alle z, w  ∈  ℂ.

 Der komplexen Exponentialfunktion wird im weiteren Verlauf eine Schlüsselrolle zukommen. Während die reelle Exponentialfunktion streng monoton steigt und dabei ℝ bijektiv auf ] 0, ∞ [ abbildet, sind die Abbildungseigenschaften der komplexen Version durch die Dreheigenschaften der komplexen Multiplikation zunächst noch unklar.