Die komplexe Exponentialfunktion
Die reelle Exponentialfunktion lässt sich ohne Schwierigkeiten auf die komplexen Zahlen fortsetzen:
Definition (komplexe Exponentialfunktion)
Für alle z ∈ ℂ setzen wir
exp(z) = ez = ∑n znn!.
Die Funktion exp : ℂ → ℂ heißt die komplexe Exponentialfunktion.
Die Beweise der absoluten Konvergenz, der Restgliedabschätzung und des Additionstheorems bleiben gültig. Es gilt also
exp(z + w) = exp(z) exp(w) für alle z, w ∈ ℂ. (Additionstheorem für ℂ)
Lediglich Eigenschaften wie „exp(x) > 0 für alle x“, die die reelle Ordnung betreffen, fallen weg. Weiterhin gilt jedoch exp(z) ≠ 0 für alle z ∈ ℂ.
Wir werden die komplexe Exponentialfunktion im nächsten Abschnitt genauer untersuchen. Zu dem aus dem Reellen bekannten Wachstumsverhalten kommt ein ganz neuartiges Aufwicklungsphänomen hinzu. Dieses wird es uns erlauben, die Kreiszahl π, Winkel und die reellen trigonometrischen Funktionen mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion rein analytisch einzuführen. Dadurch kommt ein überraschender Zusammenhang zwischen den fundamentalen Größen i, e und π ans Licht, und viele Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen können sehr einfach bewiesen werden.