Zur Motivation der Exponentialreihe
Unsere Einführung der Exponentialreihe mit „schnell gegen 0 konvergierenden Koeffizienten“ an = 1/n! einer Potenzreihe ∑n an xn ist sicherlich ad hoc. Wir diskutieren deswegen noch zwei andere Zugänge.
Motivation 1: Das Additionstheorem
Eine grundlegende Eigenschaft der Exponentialfunktion exp : ℝ → ℝ ist das Additionstheorem
exp(x) exp(y) = exp(x + y) für alle x, y ∈ ℝ, und speziell
exp(x)2 = exp(2x) für alle x ∈ ℝ.
Diese Funktionalgleichung ist typisch für Exponentialfunktionen. In der Potenzschreibweise lautet sie ex ey = ex + y für alle x, y ∈ ℝ. Wollen wir, dass eine durch eine Potenzreihe ∑n an xn (mit noch unbekannten Koeffizienten an) definierte Funktion f : ℝ → ℝ das spezielle Additionstheorem
f (x)2 = f (2x) für alle x ∈ ℝ
erfüllt, so können wir durch eine Analyse des Cauchy-Produkts die Koeffizienten an = 1/n! entdecken (ohne dabei den binomischen Lehrsatz zu kennen). Das Cauchy-Produkt bietet sich besonders an, da die Exponenten der Produktterme ak xk bm xm auf der n-ten Diagonalen die konstante Summe k + m = n haben. Mit dem Cauchy-Produkt und (2x)n = 2n xn erhalten wir den Ansatz
∑n dn xn = (∑m am xm) (∑k ak xk) = f (x)2 = f (2x) = ∑n 2n an xn, mit
dn = ∑k ≤ n ak an − k für alle n.
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
(+) ∑k ≤ n ak an − k = 2n an für alle n.
Dies liefert die Gleichungen:
a0 a0 = 20 a0 (d. h. a02 = 1)
a1 a0 + a0 a1 = 2 a1
a2 a0 + a1 a1 + a2 a0 = 4 a2
a3 a0 + a2 a1 + a1 a2 + a0 a3 = 8 a3
a4 a0 + a3 a1 + a2 a2 + a1 a3 + a0 a4 = 16 a4
…
Aus der ersten Gleichung erhalten wir a0 = 0 oder a0 = 1. Die erste Wahl führt zur Nullreihe. Wir setzen also a0 = 1 (sodass f (0) = 1). Dann lautet die zweite Gleichung „2a1 = 2 a1“, sodass a1 nicht eindeutig bestimmt ist. Die einfachste Wahl ist a1 = 1. Damit lautet die dritte Gleichung
a2 + 1 + a2 = 4 a2,
sodass a2 = 1/2. Die vierte Gleichung wird nun zu
a3 + 1/2 + 1/2 + a3 = 8 a3
sodass a3 = 1/6. Weiter geht es mit
a4 + 1/6 + 1/4 + 1/6 + a4 = 16 a4,
sodass 7/12 · a4 = 14 a4 und damit a4 = 1/24.
An dieser Stelle lässt sich an = 1/n! raten. Dann wird (+) zu
∑k ≤ n 1k! (n − k)! = 2nn! für alle n.
Multiplikation mit n! liefert die kombinatorische Identität
∑k ≤ n = 2n für alle n.
Interessant ist bei diesem Zugang die freie Wahl von a1. Setzen wir a1 = c für ein beliebig gewähltes c ∈ ℝ, so ergibt sich
a2 + c2 + a2 = 4 a2,
sodass a2 = c2/2. Weiter ist nun
a3 + c3/2 + c3/2 + a3 = 8 a3,
sodass a3 = c3/6. Weiter ergibt sich a4 = c4/12 und allgemein erhalten wir die Koeffizienten
an = cnn! für alle n.
Die so erzeugte Potenzreihe ist
∑n cnn! xn = ∑n (c x)nn! = exp(c x) = ec x.
Die Wahl von a1 = c = 2 führt beispielsweise zu
f (1) = exp(2) = e2.
Motivation 2: Gliedweises Differenzieren
Die vielleicht überzeugendste Motivation der Exponentialreihe benötigt einen Vorgriff auf die Differentialrechnung. Sei hierzu wieder f : ℝ → ℝ mit
f (x) = ∑n an xn für alle x ∈ ℝ.
Wenn wir nun f als ein „Polynom vom Grad ∞“ lesen und die Potenzreihe spielerisch so ableiten wie ein endliches Polynom, so erhalten wir
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + … + an xn + …
f ′(x) = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x2 + … + n an xn − 1 + …
Setzen wir uns nun f = f ′ als Ziel, so liefert ein Koeffizientenvergleich
a1 = a0, a2 = a12 = a02, a3 = a23 = a06, a4 = a34 = a024, …
Induktiv ergibt sich:
an = a0n! für alle n.
Verlangen wir nun noch f (0) = 1, so erhalten wir a0 = 1 und allgemeiner
an = 1n! für alle n.
Dies zeigt: Unter der Voraussetzung des „gliedweisen Differenzierens“ einer Potenzreihe und des Koeffizientenvergleichs hat eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion f : ℝ → ℝ mit f (0) = 1 und f ′ = f notwendig die Form
f (x) = ∑n xnn! = exp(x) für alle x ∈ ℝ.
Wir werden im vierten Abschnitt auf diese Überlegungen zurückkommen. Der Vorgriff ist vielleicht bereits an dieser Stelle willkommen.