Der anschauliche Stetigkeitsbegriff

 Wir wollen uns nun der Frage zuwenden, was die Stetigkeit einer Funktion f : P → ℝ bedeutet. Zwei anschauliche Beschreibungen sind:

Die Funktion macht keine Sprünge.

Die Funktionswerte ändern sich wenig, wenn sich die Argumente wenig ändern.

Die Präzisierung dieser Anschauungen führt zu zwei mathematischen Begriffen. Wir werden aber zeigen, dass die beiden Begriffe äquivalent sind, sodass sich keine konkurrierenden Stetigkeitsdefinitionen ergeben.

 Unsere anschaulichen Beschreibungen beziehen sich auf eine Funktion als Ganzes. Die Stetigkeit ist aber zunächst eine „lokale“ oder „punktweise“ Eigenschaft. Sei also f : P → ℝ eine Funktion, und sei p  ∈  P ein Punkt ihres Definitionsbereichs. Dann ist die Funktion f anschaulich stetig im Punkt p, falls gilt:

Die Funktion springt an der Stelle p nicht.

Der Funktionswert f (x) liegt nahe bei f (p), wenn x nahe bei p liegt.

Das Nichtspringen von f an der Stelle p können wir genauer formulieren:

Nähern wir uns dem Punkt p in beliebiger Weise an, so nähern sich die

dieser Annäherung entsprechenden Funktionswerte dem Funktionswert f (p) an.