Abgeschlossenheitseigenschaften
Definition (punktweise arithmetische Operationen für Funktionen)
Seien f, g Funktionen auf P, und sei a ∈ ℝ. Dann definieren wir die Funktionen f + g, f − g, f · g und a f auf P durch
| (f ± g)(x) | = f (x) ± g(x), (punktweise Addition und Subtraktion) |
| (f · g)(x) | = f (x) g(x), (punktweise Multiplikation) |
| (a f)(x) | = a f (x) für alle x ∈ P. (punktweise Skalierung) |
Ist g(x) ≠ 0 für alle x ∈ P, so definieren wir die Funktion f/g auf P durch
| (f/g)(x) | = f (x)/g(x) für alle x ∈ P. (punktweise Division) |
Der Leser überzeugt sich mit Hilfe der Limesregeln für Folgen leicht von der Gültigkeit des folgenden Satzes:
Satz (Stetigkeit der punktweisen Operationen)
Seien f, g stetige Funktionen auf P, und sei a ∈ ℝ . Dann sind die Funktionen f + g, f − g, f · g und a f stetig. Ist f/g definiert, so ist auch f/g stetig.
Durch die wiederholte Anwendung der Operationen auf die konstanten Funktionen und die Identität lassen sich alle Polynome auf ℝ erzeugen, und durch die Division zweier Polynomfunktionen entstehen die rationalen Funktionen (die an den Nullstellen des Nennerpolynoms nicht definiert sind). Damit erhalten wir:
Korollar (Stetigkeit der Polynomfunktionen und der rationalen Funktionen)
Jedes Polynom f auf ℝ ist stetig. Sind weiter f und g Polynome auf ℝ, so ist die rationale Funktion f/g : P → ℝ stetig auf P = { x ∈ ℝ | g(x) ≠ 0 }.
Weiter führt auch die Verknüpfung nicht zu Unstetigkeitsstellen:
Satz (Komposition stetiger Funktionen)
Seien f : P → ℝ und g : Q → ℝ stetige Funktionen mit Q ⊇ f[ X ].
Dann ist die Komposition g ∘ f : P → ℝ stetig.
Beweis
Gilt p = limn xn in P, so gilt f (p) = limn f (xn), da f stetig in p ist. Da nun aber g stetig in f (p) ist und (f (xn))n ∈ ℕ eine konvergente Folge in Q ist, gilt
(g ∘ f)(p) = g(f (p)) = g(limn f (xn)) = limn g(f (xn)) = limn (g ∘ f)(xn).
Die Frage nach der Stetigkeit der Umkehrfunktion einer stetigen injektiven Funktion diskutieren wir im nächsten Kapitel.