Weitere Beispiele
Zur weiteren Erläuterung des Stetigkeitsbegriffs betrachten wir noch weitere Beispiele. Genauer: Klassen von Beispielen, die wir auch als „kleine Sätze“ formulieren könnten.
Diskrete Definitions- und Wertebereiche
Sei f : ℤ → ℝ. Dann ist f stetig. Denn jede gegen ein a ∈ ℤ konvergente Folge in ℤ ist schließlich konstant, woraus sich die Limesstetigkeit ergibt. Allgemeiner ist f : P → ℝ stetig, falls es keinen Häufungspunkt von P gibt, der zu P gehört. Insbesondere ist jede Funktion auf einer diskreten Menge (eine Menge ohne Häufungspunkte) stetig. Umgekehrt gibt es keine stetige Funktion f : I → { 0, 1 } auf einem Intervall I, die genau die Werte 0 und 1 annimmt. Der Nachweis ist nicht trivial: Eine solche Funktion müsste an einer Stelle p einen Wert annehmen, der ein Häufungspunkt von Stellen des anderen Funktionswert ist (Übung).
Zusammenfügen von Funktionen
Sei I, J disjunkte offene Intervalle (d. h. I ∩ J = ∅). Weiter seien f : I → ℝ und g : J → ℝ stetig. Dann ist h : I ∪ J → ℝ stetig, wobei
h(x) = f (x), falls x ∈ I, h(x) = g(x), falls x ∈ J.
(Bei einem mengentheoretischen Funktionsbegriff gilt einfach h = f ∪ g.)
Die Voraussetzung an die Definitionsbereiche ist wesentlich. Bereits bei „I halboffen, J offen“ können durch das Zusammenfügen Sprünge entstehen (Übung). Und für allgemeine disjunkte Definitionsbereiche kann die Stetigkeit komplett verloren gehen: Für die stetigen Funktionen f : ℚ → ℝ, g : ℝ − ℚ → ℝ mit
f (x) = 0 für alle x ∈ ℚ, g(x) = 1 für alle x ∈ ℝ − ℚ,
ist die zusammengefügte Funktion h : ℝ → ℝ überall unstetig.
Unproblematisch ist:
Einschränkung
Sei f : P → ℝ stetig, und sei Q ⊆ P. Dann ist die Einschränkung g = f↾Q : Q → ℝ von f auf Q (mit g(x) = f (x) für alle x ∈ Q) stetig. Ist also f : ℝ → ℝ stetig, so sind zum Beispiel auch die Einschränkungen f↾[ 0, 1 ] und f↾ℚ stetig.
Weitere Beispiele diskutieren wir anschaulich mit Hilfe von Diagrammen.
Die dargestellte Funktion f : [ −1, 1 ] → ℝ mit f (0) = 1/2 ist im Nullpunkt stetig. Der Nullpunkt ist sowohl ein Häufungspunkt von Unstetigkeitsstellen als auch ein Häufungspunkt von Stetigkeitsstellen von f.
Die Funktion g : [ −1, 1 ] → ℝ des Diagramms ist im Nullpunkt unstetig (unabhängig von der Definition von g(0)). Stetigkeits- und Unstetigkeitsstellen häufen sich bei 0.
Die Hyperbel h : ℝ* → ℝ mit h(x) = 1/x für alle x ∈ ℝ* ist stetig (mit ℝ* = ℝ − { 0 }). Die Anschauung, dass h im Nullpunkt springt und deswegen dort unstetig ist, ist nicht korrekt. Die Funktion h ist im Nullpunkt nicht definiert, der Stetigkeitsbegriff ist nur für Punkte des Definitionsbereichs einer Funktion erklärt (vgl. hierzu auch die Bemerkung nach der Definition der Limesstetigkeit).