Klassifikation der Unstetigkeit
Mit unseren Grenzwertnotationen für Funktionen können wir die Unstetigkeit einer Funktion genauer beschreiben:
Satz (Unstetigkeit erster und zweiter Art)
Seien I ein Intervall, f : I → ℝ und p ∈ I kein Randpunkt von I. Dann ist f genau dann unstetig im Punkt p, wenn gilt:
(a) | limx → p, x ≠ p f (x) = y existiert, aber es gilt f (p) ≠ y. (Unstetigkeit der Art 1a) |
(b) | limx ↑ p f (x) = y1 und limx ↓ p f (x) = y2 existieren, aber es gilt y1 ≠ y2. (Unstetigkeit der Art 1b) |
(c) | limx ↑ p f (x) existiert nicht oder limx ↓ p f (x) existiert nicht. (Unstetigkeit der Art 2) |
Beispiele
(1) | Die Funktion f : ℝ → ℝ mit f (x) = 0 für x ≠ 0 und f (0) = 1 hat eine Unstetigkeitsstelle der Art 1a. Die Funktion g : ℝ → ℝ mit f (x) = 0 für x ≤ 0 und f (x) = 1 für x > 0 hat eine Unstetigkeitsstelle der Art 1b. |
(2) | Die unter „Verdichtung der Funktionswerte“ diskutierte Funktion f hat eine Unstetigkeitsstelle zweiter Art. Gleiches gilt für g : ℝ → ℝ mit g(1/n) = 1 für alle n ≥ 1 und g(x) = 0 für alle anderen x. |