Die Stetigkeit in ℂ

Die Limesdefinition der Stetigkeit einer Funktion überträgt sich problemlos nach ℂ: Ist P ⊆ ℂ und f : P → ℂ, so ist f stetig in einem Punkt p  ∈  P, falls für alle gegen p konvergenten Folgen (z_n)_{n  ∈  ℕ} in P gilt, dass lim_n f (z_n) = f (p). Die elementaren Sätze über stetige Funktionen gelten auch in ℂ. Insbesondere ist die Komposition zweier stetiger komplexer Funktionen wieder stetig. Alle komplexen Polynomfunktionen sind stetig. Die Funktionen Re : ℂ → ℂ und Im : ℂ → ℂ sind ebenfalls stetig. Grenzwerte für komplexe Funktionen können ebenfalls wie für ℝ erklärt werden. In ℂ haben wir dabei nur ein Unendlichkeitssymbol zur Verfügung. Für eine Funktion f : ℂ → ℂ und ein w  ∈  ℂ = ℂ ∪ { ∞ } definieren wir:

lim_z → ∞ f (z) = w

bedeutet

für alle Folgen (z_n)_{n  ∈  ℕ} in ℂ mit lim_n |z_n| = ∞ gilt lim_n f (z_n) = w.

Beispiele

lim_{z → ∞, z ≠ 0} 1/z = 0, lim_{z → 0, z ≠ 0} 1/z = lim_z → ∞ z² = lim_z → ∞ −z = ∞.