Kompakte Intervalle
Beschränkte oder unbeschränkte Intervalle sind besonders natürliche Definitionsbereiche für stetige Funktionen. Es zeigt sich nun, dass den beschränkten und abgeschlossenen Intervallen in ℝ eine ausgezeichnete Bedeutung zukommt. Wie substantiell der Unterschied zwischen stetigen Funktionen auf ] 0, 1 [ und [ 0, 1 ] ist, wird der Leser sehen, wenn er versucht, stetige Funktionen auf diesen Intervallen zu zeichnen, deren Wertebereich ganz ℝ ist. Während das für das Intervall ] 0, 1 [ gelingt, scheint es für [ 0, 1 ] unmöglich zu sein. Wir werden im Folgenden in der Tat beweisen, dass jede stetige Funktion f auf [ 0, 1 ] beschränkt ist, d. h., ihr Wertebereich ist eine beschränkte Teilmenge von ℝ.
Wir definieren:
Definition (kompaktes Intervall)
Reelle Intervalle der Form [ a, b ] heißen kompakt. Weiter gilt auch das leere Intervall ∅ als kompakt.
Wir nehmen in der Notation [ a, b ] wie schon bisher a ≤ b an sodass [ a, b ] immer nichtleer ist. Eine im Folgenden nützliche Sprechweise ist:
Verschiedene Vorzeichen
Sei f : P → ℝ, und seien a, b ∈ P. Dann haben f (a) und f (b) verschiedene Vorzeichen, falls f (a) > 0, f (b) < 0 oder f (a) < 0, f (b) > 0.
Eine kurze Charakterisierung ist „f (a) f (b) < 0“. Haben f (a) und f (b) verschiedene Vorzeichen, so gilt a ≠ b und f (a), f (b) ≠ 0.