Ausblick: Funktionalgleichungen

Wir haben mit Hilfe der Exponentialfunktion zur Basis e die allgemeinen Exponential- und Logarithmusfunktionen exp_a und log_a und weiter die Potenzfunktionen pot_b gewonnen. Nun wollen wir die Bedeutung dieser Funktionen durch Charakterisierungssätze, die strukturerhaltende Eigenschaften ins Zentrum stellen, weiter untermauern. Hierzu betrachten wir die folgenden Funktionalgleichungen für eine Funktion f : P → ℝ:

(FG + ·)	f(x + y) = f (x) · f (y)	für alle x, y  ∈  P
(FG · +)	f(x · y) = f (x) + f (y)	für alle x, y  ∈  P
(FG · ·)	f(x · y) = f (x) · f (y)	für alle x, y  ∈  P
(FG + +)	f(x + y) = f (x) + f (y)	für alle x, y  ∈  P

Wir fragen:

Welche Funktionen f : P → ℝ erfüllen diese Funktionalgleichungen?

Der Definitionsbereich P der Funktion f soll dabei so groß wie möglich gewählt werden, etwa P = ℝ oder P = ] 0, ∞ [. Für die erste und vierte Funktionalgleichung muss P abgeschlossen unter der Addition sein, für die zweite und dritte abgeschlossen unter der Multiplikation. In der Sprache der Algebra ist also (P, +) bzw. (P, ·) eine Halbgruppe, und wir fragen nach strukturerhaltenden Abbildungen von (P, +) bzw. (P, ·) nach (ℝ, +) bzw. (ℝ, ·). Die vier Funktionalgleichungen entsprechen den vier möglichen Kombinationen der Operationen.

Die Funktionen exp_a, log_a und pot_b sind jeweils Beispiele für die ersten drei Gleichungen. Beispiele für (FG + +) sind die Geraden g_a : ℝ → ℝ, a  ∈  ℝ, mit

g_a(x) = a x für alle x  ∈  ℝ.

Die Nullfunktion 0 = g₀ erfüllt alle vier Funktionalgleichungen. Wir zeigen nun, dass im Reich der stetigen Funktionen keine weiteren Beispiele existieren.

f(x + y) = f (x) · f (y) und f(x · y) = f (x) · f (y)

Wir beginnen mit:

Satz (Charakterisierung der Exponentialfunktionen)

Sei f : ℝ → ℝ eine im Punkt 0 stetige Funktion mit

f(x + y) = f (x) · f (y) für alle x, y  ∈  P. (Additionstheorem)

Dann ist a = f (1) ≥ 0. Ist a = 0, so ist f = 0. Ist a > 0, so ist f = exp_a.

Beweis

Ist a = 0, so gilt für alle x  ∈  ℝ:

f (x) = f(1 + x − 1) = f (1) · f(x − 1) = 0 · f(x − 1) = 0.

Also ist f = g₀ in diesem Fall. Sei also a > 0. Dann ist

a · f (0) = f (1) · f (0) = f(1 + 0) = f (1) = a > 0,

und damit f (0) > 0. Wegen

f (0) = f(0 + 0) = f (0) · f (0) = f (0)²

ist dann aber f (0) = 1. Wie für die Exponentialfunktion folgt nun aus der Stetigkeit im Punkt 0 die Stetigkeit in jedem Punkt p, denn

lim_x → 0 f(p + x) = f (p) lim_y → 0 f (y) = f (p) · f (0) = f (p).

Aus (FG + ·) folgt ebenfalls wie für die Exponentialfunktion, dass

f (n/m) = ^m $\sqrt{a^{n}}$ = exp_a(n/m) für alle n  ∈  ℤ und m  ∈  ℕ*.

Also gilt f|ℚ = exp_a|ℚ und damit f = exp_a, da beide Funktionen stetig sind.

Für Leser, die den Ausblick „Binomische Reihen“ gelesen haben, notieren wir:

Korollar (Identifizierung der binomischen Reihen)

Für alle x  ∈  ] −1, 1 [ und alle s  ∈  ℝ gilt B_s(x) = ∑_n $( \binom{s}{n} )$ xⁿ = (1 + x)^s.

Beweis

Sei x  ∈  ] −1, 1 [. Wir definieren f : ℝ → ℝ durch f (s) = B_s(x) für alle s  ∈  ℝ. Dann ist f stetig im Nullpunkt:

(+) lim_s → 0 f (s) = 1.

Beweis von (+)

Für s  ∈  [ −1, 1 ] und n ≥ 1 gilt

| $( \binom{s}{n} )$ | = ^|s|₁ · ^|s − 1|₂ · … · ^{|s − n + 1|}_n ≤ |s|.

Damit ist

|f (s) − 1| ≤ |s| · ∑_n ≥ 1 |x|ⁿ für alle s  ∈  [ −1, 1 ],

und die rechte Seite strebt gegen 0, wenn s gegen 0 strebt.

Aber f erfüllt, wie wir früher gezeigt haben, das Additionstheorem. Wegen f (1) = B₁(x) > 0 gilt f = exp_a mit a = f (1) = 1 + x. Damit ist

B_s(x) = f (s) = a^s = (1 + x)^s.

Die rein multiplikative Funktionalgleichung können wir auf den behandelten Fall zurückführen:

Korollar (Charakterisierung der Potenzfunktionen)

Sei f : ] 0, ∞ [ → ℝ eine im Punkt 1 stetige Funktion mit

f(x · y) = f (x) · f (y) für alle x, y  ∈  P.

Dann gilt f = 0, falls f (e) = 0. Andernfalls ist f = pot_b mit b = log(f (e)).

Beweis

Ist f (e) = 0, so ist f (x) = f(e · x/e) = 0 · f (x/e) = 0 für alle x > 0. Andernfalls definieren wir g : ℝ → ℝ durch

g(x) = f (e^x) für alle x  ∈  ℝ.

Dann ist g stetig im Punkt 0 und für alle x, y  ∈  ℝ gilt

g(x + y) = f(e^x + y) = f(e^x · e^y) = f (e^x) · f (e^y) = g(x) · g(y).

Folglich ist g = exp_a mit a = g(1) = f (e) > 0. Dann gilt aber für alle x > 0:

f (x) = f (e^log(x)) = g(log(x)) = a^log(x) = x^log(a).

f(x + y) = f (x) + f (y) und f(x · y) = f (x) + f (y)

Für ein Plus links und rechts gilt:

Satz (Charakterisierung der linearen Funktionen)

Sei f : ℝ → ℝ eine im Punkt 0 stetige Funktion mit:

f(x + y) = f (x) + f (y) für alle x, y  ∈  P.

Dann ist f die Gerade g_a mit Steigung a = f (1).

Beweis

In Analogie zur Funktionalgleichung FG(+ ·) zeigt man

(a)	f (0) = 0,

(b)	f ist stetig,

(c)	f (n/m) = n/m f (1) für alle n  ∈  ℤ, m  ∈  ℕ*,

woraus die Behauptung folgt.

Hiermit können wir auch die vierte Funktionalgleichung behandeln:

Korollar (Charakterisierung der Logarithmusfunktionen)

Sei f : ] 0, ∞ [ → ℝ eine im Punkt 1 stetige Funktion mit:

f(x · y) = f (x) + f (y) für alle x, y  ∈  P. (Multiplikationstheorem)

Dann gilt: Ist f (e) = 0, so ist f = 0. Andernfalls ist f = log_a mit a = e^1/f (e).

Beweis

Wir definieren g : ℝ → ℝ durch

g(x) = f (e^x) für alle x  ∈  ℝ.

Dann ist g stetig im Punkt 0. Weiter gilt für alle x, y  ∈  ℝ

g(x + y) = f(e^x + y) = f(e^x · e^y) = f (e^x) + f (e^y) = g(x) + g(y).

Damit ist g = g_c mit c = g(1) = f (e). Ist c = 0, so ist g = 0 und damit f = 0.

Ist c ≠ 0, so gilt nach den Rechenregeln für Logarithmen, dass

f (x) = f (e^log(x)) = g(log(x)) = c log(x) = log_e^1/c(x) für alle x > 0.

Die Stetigkeitsvoraussetzung

In allen Resultaten haben wir die Stetigkeit von f in einem Punkt vorausgesetzt. Eine natürliche Frage ist, ob man auf diese Voraussetzung verzichten kann. Die Antwort ist nein, aber Gegenbeispiele sind nicht leicht zu konstruieren. Exemplarisch betrachten wir:

Satz (unstetige additive Funktionen)

Es gibt ein unstetiges f : ℝ → ℝ mit f(x + y) = f (x) + f (y) für alle x, y  ∈  ℝ.

Beweisskizze

Sei B ⊆ ℝ derart, sodass gilt:

(+)	Für alle x  ∈  ℝ gibt es eindeutige α₁, …, α_n  ∈  ℚ* und v₁, …, v_n  ∈  B mit x = α₁ v₁ + … + α_n v_n (mit der leeren Summe für x = 0).

(Die Existenz einer derartigen Menge B reeller Zahlen folgt aus dem allgemeinen Basis-Existenzsatz der Linearen Algebra. Jede Basis des ℚ-Vektorraumes ℝ − eine sog. Hamel-Basis − ist geeignet.)

Ist x  ∈  ℝ dargestellt wie in (+), so setzen wir

f (x) = α₁ + … + α_n.

Dann ist f : ℝ → ℚ unstetig und für alle x, y  ∈  ℝ gilt f(x + y) = f (x) + f (y).

Die Stetigkeitsvoraussetzung lässt sich aber noch weiter abschwächen, es genügt eine Beschränktheitsbedingung im Punkt 0. Weiter kann man auch Monotonie anstelle der Stetigkeit fordern. Wir diskutieren dies in den Übungen.