Ausblick: Die Hyperbelfunktionen
Im Zoo der von der komplexen Exponentialfunktion abstammenden Funktionen betrachten wir noch ein weiteres Gehege.
Definition (Hyperbelfunktionen)
Wir definieren den Sinus Hyperbolicus sinh : ℝ → ℝ, den Kosinus Hyperbolicus cosh : ℝ → ℝ, den Tangens Hyperbolicus tanh : ℝ → ℝ und den Kotangens Hyperbolicus coth : ℝ − { 0 } → ℝ durch:
sinh x = ex − e−x2, cosh x = ex + e−x2 für alle x ∈ ℝ,
| tanh x = sinh xcosh x | für alle x ∈ ℝ, |
| coth x = cosh xsinh x | für alle x ∈ ℝ, x ≠ 0. |
Die Hyperbelfunktionen sind stetig und besitzen das folgende Monotonie- und Werteverhalten.
Satz (Verhalten der Hyperbelfunktionen)
sinh ist streng monoton steigend und besitzt den Wertebereich ℝ. cosh ist streng monoton fallend im Intervall ] −∞, 0 ] und streng monoton steigend im Intervall [ 0, ∞ [ mit Wertebereich [ 1, ∞ [. tanh ist streng monoton steigend mit Wertebereich ] −1, 1 [. coth ist streng monoton fallend im Intervall ] −∞, 0 [ und streng monoton fallend im Intervall ] 0, ∞ [ mit Wertebereich ℝ − [ −1, 1 ].
Wir sammeln:
Satz (Eigenschaften der Hyperbelfunktionen)
Für alle x, y gilt:
(a) | cosh2 x − sinh2 x = 1, |
(b) | sinh x = ∑n x2 n + 1(2n + 1)!, cosh x = ∑n x2 n(2n)!, |
(c) | sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y, cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y. (Additionstheoreme) |
Die erste Eigenschaft erklärt die Bezeichnung als „Hyperbelfunktionen“. So wie
f (t) = (cos(t), sin(t))
in der Zeit t eine Bewegung auf dem Einheitskreis K beschreibt, so beschreibt
g(t) = (cosh(t), sinh(t))
in der Zeit t eine Bewegung auf dem rechten Ast Hr der Einheitshyperbel
H = { (x, y) ∈ ℝ2 | x2 − y2 = 1 }.
Das Diagramm zeigt einige Werte dieser Bewegung auf dem Ast Hr. Eine geometrische Deutung von t werden wir gleich noch kennenlernen.
Auch für die Hyperbelfunktionen lassen sich Umkehrfunktionen einführen:
Definition (Areafunktionen)
Der Areasinus Hyperbolicus arsinh : ℝ → ℝ, Areakosinus Hyperbolicus arcosh : [ 1, ∞ [ → ℝ, Areatangens Hyperbolicus artanh : ] −1, 1 [ → ℝ und Areakotangens Hyperbolicus arcoth : ℝ − [ −1, 1 ] → ℝ werden definiert durch
| arsinh = sinh−1, | arcosh = (cosh↾[ 0, ∞ [)−1, |
| artanh = tanh−1, | arcoth = coth−1. |
Die folgenden Diagramme zeigen den Verlauf dieser Funktionen.
Die Bezeichnung als „Areafunktionen“ (mit lateinisch „area“ = „Fläche“) ist geometrisch motiviert. Ist wieder
H = { (x, y) ∈ ℝ2 | x2 − y2 = 1 }
die Einheitshyperbel, so schneiden für jedes a ∈ ] 0, 1 [ die Geraden ga und g− a durch 0 mit Steigung a bzw. −a den rechten Ast Hr der Hyperbel in zwei von der Steigung a abhängigen Punkten (xa, ya) und (xa, −ya). Weiter schließen diese Geraden mit Hr eine Fläche A wie im Diagramm ein. Mit Hilfe von Integration kann man zeigen, dass
(xa, ya) = (cosh A, sinh A)
und folglich
A = arcosh xa = arsinh ya .
So wie in cos x und sin x die Zahl x für x ∈ [ 0, 2π ] eine Bogenlänge am Einheitskreis ist, so ist in coshA und sinhA die Zahl A für A ≥ 0 eine durch die Einheitshyperbel definierte Fläche. Betrachten wir Sektorflächen am Kreis, so wird die Analogie noch deutlicher.
Die Areafunktionen besitzen überraschende explizite Darstellungen mit Hilfe des Logarithmus, deren Beweise wir dem Leser überlassen.
Satz (Logarithmus-Darstellung der Areafunktionen)
Es gilt:
| arsinh x = log (x + ) | für alle x ∈ ℝ, |
| arcosh x = log (x + ) | für alle x ≥ 1, |
| artanh x = 12 log (1 + x1 − x) | für alle x mit |x| < 1, |
| arcoth x = 12 log (x + 1x − 1) | für alle x mit |x| > 1. |