Bilder der komplexen Exponentialfunktion

Wir wollen das Werteverhalten der Funktion exp : ℂ → ℂ noch einmal zusammenfassend beschreiben. Aus dem Verlaufsverhalten der stetigen Funktionen cos(x) = Re(e^i x) und sin(x) = Im(e^i x) und dem Zwischenwertsatz folgt:

Satz (Kreisaufwicklung)

Die Funktion exp bildet das senkrechte Geradenstück { i x | 0 ≤ x < 2π } bijektiv auf den Einheitskreis K = { z  ∈  ℂ | |z| = 1 } ab.

Allgemeiner gilt:

Satz (Bilder von Waagrechten und Senkrechten unter der Exponentialfunktion)

Für alle komplexen Zahlen z₀ = (x₀, y₀) und alle r > 0 gilt:

(a)	exp bildet den senkrechten Geradenabschnitt { z₀ + i x \| 0 ≤ x < 2π } bijektiv auf den Kreis K_r = { z  ∈  ℂ \| \|z\| = r } mit r = e^x₀ ab.

(b)	exp bildet den waagrechten Geradenabschnitt { z₀ + x \| 0 ≤ x < r } bijektiv auf den Geradenabschnitt { e^z₀ + α z₁ \| 0 ≤ α < e^x₀ + r − e^x₀ } ab, wobei z₁ der Vektor e^i y₀ des Einheitskreises ist.

Beweis

Die Aussage (a) folgt aus e^{z₀ + i x} = e^{x₀ + i (y₀ + x)} = e^x₀ · e^{i (y₀ + x)} und der minimalen Periode 2π i von exp. Die Aussage (b) folgt aus

e^z₀ + x = e^z₀ + (e^x − 1) e^z₀ = e^z₀ + (e^x − 1) e^x₀ e^i y₀.

Ein Gitter in der Ebene wird durch die komplexe Exponentialfunktion also in y-Richtung kreisförmig aufgefächert und in x-Richtung exponentiell gestreckt. Das Bild des Rechtecks P = [ −1/2, 1/2 ] × [ π/8, 3π/8 ] unter exp sieht beispielsweise so aus:

Korollar (waagrechte Streifen der Breite 2π)

Für alle y₀  ∈  ℝ bildet exp den Streifen { (x, y₀ + y) | x  ∈  ℝ, 0 ≤ y < 2π }

bijektiv auf die punktierte Ebene ℝ² − { 0 } ab.

Dem Leser wird es vielleicht Vergnügen bereiten, die Exponentialfunktion anhand weiterer Beispiele zu ergründen: Welche Bilder haben waagrechte Streifen der Breite π/2, π oder 4 π? Welche Bilder haben senkrechte Streifen? Welche Bilder haben Halbgeraden der Ebene, die im Nullpunkt beginnen?