Tangens und Kotangens
Definition (Tangens und Kotangens)
Seien A = { π/2 + kπ | k ∈ ℤ } und B = { kπ | k ∈ ℤ } die Nullstellenmengen des Kosinus bzw. Sinus. Dann sind der Tangens tan : ℝ − A → ℝ und Kotangens cot : ℝ − B → ℝ definiert durch:
| tan x = sin xcos x | für alle x ∈ ℝ − A, |
| cot x = cos xsin x | für alle x ∈ ℝ − B. |
Die beiden Funktionen sind stetig auf ihren Definitionsbereichen. Aus den Eigenschaften des Sinus und Kosinus folgt:
Satz (elementare Eigenschaften des Tangens und Kotangens)
Für alle x,y ∈ ℝ gilt unter der Voraussetzung der Definiertheit:
(a) | tan(−x) = − tan x, cot(−x) = − cot x, |
(b) | tan x = 1cot x, cot x = 1tan x, |
(c) | tan(x + y) = tan x + tan y1 − tan x tan y, cot(x + y) = cot x cot y − 1cot x + cot y. (Additionstheoreme) |
Der Beweis kann dem Leser überlassen bleiben. Wir zeigen hier noch:
Satz (Werteverhalten des Tangens und Kotangens)
Tangens und Kotangens besitzen die Periode π, d.h., es gilt
tan x = tan(x + π) für alle x ∈ ℝ − A,
cot x = cot(x + π) für alle x ∈ ℝ − B.
Der Tangens ist streng monoton steigend im Intervall ] −π/2, π/2 [, und er bildet dieses Intervall bijektiv auf ℝ ab.
Analog ist der Kotangens streng monoton fallend im Intervall ] 0, π [, und er bildet dieses Intervall ebenfalls bijektiv auf ℝ ab.
Beweis
Für alle x ∈ ℝ mit cos x ≠ 0 gilt
tan x = sin x/cos x = sin(x + π)/cos(x + π) = tan(x + π).
Weiter gilt für alle x < y in [ 0, π/2 ], dass
0 < sin x < siny, cos x > cosy > 0.
Also ist tan x = sin x/cos x < sin y/cos y = tan y für alle 0 ≤ x < y < π/2, sodass tan in [ 0, π/2 [ streng monoton steigt. Wegen tan(−x) = − tan(x) ist tan auch streng monoton steigend in ] −π/2, π/2 [. Weiter gilt
limx ↑ π/2 tan x = limx ↑ π/2 sin x/cos x = ∞,
limx ↓ −π/2 tan x = − limx ↑ π/2 tan x = − ∞.
Dies zeigt zusammen mit der Stetigkeit und strengen Monotonie, dass der Tangens das Intervall ] −π/2, π/2 [ bijektiv auf ℝ abbildet. Die Aussagen über den Kotangens werden analog bewiesen.
Erwähnenswert sind noch die Werte tan(π/4) = 1 und tan(−π/4) = −1, die sich aus sin(π/4) = cos(π/4) und tan(−x) = − tan(x) ergeben.