Vervielfachung und Chebyshev-Polynome
Die Verdopplungsformeln
cos(2x) = cos2(x) − sin2(x) = 2 cos2(x) − 1, sin(2x) = 2 cos(x) sin(x)
sind Spezialfälle der Additionstheoreme des Kosinus und Sinus. Eine bemerkenswerte Verallgemeinerung ergibt sich durch folgende spielerische Überlegung. Für alle n ≥ 1 gilt:
cos((n ± 1) x) = cos(n x ± x) = cos(x) cos(n x) ∓ sin(x) sin(n x),
sin((n ± 1) x) = sin(n x ± x) = ± sin(x) cos(n x) + cos(x) sin(n x).
Durch Addition und Subtraktion erhalten wir vier Formeln:
(1) | cos((n + 1) x) + cos((n − 1) x) = 2 cos(x) cos(n x), |
(2) | sin((n + 1) x) + sin((n − 1) x) = 2 cos(x) sin(n x), |
(3) | cos((n + 1) x) − cos((n − 1) x) = − 2 sin(x) sin(n x), |
(4) | sin((n + 1) x) − sin((n − 1) x) = 2 sin(x) cos(n x). |
Die erste Identität involviert nur Kosinusterme. Dies erlaubt eine Darstellung von cos(n x) als Polynom in cos(x). Wir definieren hierzu:
Definition (Chebychev-Polynome)
Die Chebychev-Polynome Tn, Un : ℝ → ℝ erster bzw. zweiter Art sind rekursiv definiert durch
T0(x) = 1, T1(x) = x, Tn + 1(x) = 2 x Tn(x) − Tn(x),(erster Art)
U0(x) = 1, U1(x) = 2 x, Un + 1(x) = 2 x Un(x) − Un(x).(zweiter Art)
Satz (Chebychev-Darstellung von cos(nx) und sin(nx))
Für alle n ∈ ℕ und alle x ∈ ℝ gilt:
(a) | cos(n x) = Tn(cos(x)), |
(b) | sin((n + 1) x) = Un(cos(x)) sin(x). |
Beweis
Die Aussage (a) ist trivial für n = 0 und n = 1. Induktiv folgt aus (1):
| cos((n + 1) x) | = 2 cos(x) cos(n x) − cos((n − 1) x) |
| = 2 cos(x) Tn(cos(x)) − Tn − 1(cos(x)) = Tn + 1(cos(x)). |
Analog wird (b) mit Hilfe von (2) bewiesen.