Umformung von Potenzen in trigonometrische Polynome

 Die Chebychev-Polynome stellen cos(nx) als Polynom in cos(x) dar. Umgekehrt ist es oft von Interesse, eine Potenz cosⁿ(x) oder sinⁿ(x) als trigonometrisches Polynom, d. h. als Linearkombination von cos(kn) und sin(kn), k  ∈  ℕ, zu schreiben. Dies wird in der Integrationstheorie sehr nützlich sein, da cos(kn) und sin(kn) sehr leicht zu integrieren sind. Die einfachsten Fälle

cos²(x)  =  1/2  +  1/2 cos(2x),  sin²(x)  =  1/2  −  1/2 cos(2x),

ergeben sich aus cos(2x) = 2 cos²(x) − 1 und dem Satz des Pythagoras. Genauer ist hier 1/2 = 1/2 cos(0) und allgemein a = a cos(0). Weiter gilt (wie gleich klar wird):

cos³(x)  =  ¹₄ (3 cos(x) + cos(3x)),  sin³(x)  =  ¹₄ (3 sin(x) − sin(3x)),

cos⁴(x)  =  ¹₈ (3 + 4 cos(2x) + cos(4x)),  sin⁴(x)  =  ¹₈ (3 − 4 cos(2x) + cos(4x)).

Allgemeine Formeln lassen sich mit Binomialkoeffizienten (oder der Theorie der Fourier-Reihen) angeben, sie sind aber für die Umrechnung nicht nötig, da wir rekursiv argumentieren können. Für ein gegebenes n ≥ 1 gilt

cos^n + 1(x)  =  cos(x) cosⁿ(x).

Wir schreiben nun cosⁿ(x) nach Induktionsvoraussetzung (oder bereits berechneter Formel) als cos(kx)-Linearkombination, k  ∈  ℕ. Die Formel

(1)  cos(x) cos(k x)  =  ¹₂ (cos((k + 1) x)  +  cos((k − 1) x))

und Ausmultiplizieren liefern cos^n + 1(x) als derartige Linearkombination. Der Leser führe dies für cos³(x) und cos⁴(x) durch, um die Formeln der Tabelle zu finden. Die Überlegung zeigt, dass wir für cosⁿ(x) nur Kosinusterme benötigen, und dass alle Kreisfrequenzen k entweder gerade (im Fall n gerade) oder ungerade sind (im Fall n ungerade).

 Für den Sinus sind die Dinge etwas anders. Wir erhalten nach Induktionsvoraussetzung eine sin(kx)-Darstellung im Fall n ungerade und eine cos(kx)-Darstellung im Fall n gerade (entsprechend der Parität von sinⁿ(x)). Nun ergibt sich aus sin^n + 1(x) = sin(x) sinⁿ(x) und den Formeln

(3)  sin(x) cos(kx)  =  ¹₂ (sin((k + 1) x)  −  sin((k − 1) x))

(4)  sin(x) sin(kx)  =  ¹₂ (cos((k − 1) x)  −  cos((k + 1) x))

eine sin(kx)-Darstellung für n + 1 ungerade und eine cos(kx)-Darstellung im Fall n + 1 gerade. Die Induktionsvoraussetzung bleibt aufrecht.