Die Supremumsnorm

Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge lässt sich auf die Konvergenz einer gewissen Folge reeller Zahlen zurückführen. Wir definieren hierzu:

Definition (Supremumsnorm)

Sei P ≠ ∅, und sei f : P → ℝ eine beschränkte Funktion. Dann setzen wir:

∥ f ∥ = sup_{x  ∈  P} |f (x)|.

Die reelle Zahl ∥ f ∥ heißt die Supremumsnorm von f.

Für unbeschränkte Funktionen ist wieder die Konvention

∥ f ∥ = ∞

nützlich. Dann ist zum Beispiel „∥ f ∥ < ∞“ nur eine andere Ausdrucksweise für die Beschränktheit der Funktion f.

Die wichtigsten Eigenschaften der Supremumsnorm sind:

Satz (Eigenschaften der Supremumsnorm)

Sei P ⊆ ℝ, P ≠ ∅. Dann gilt für alle beschränkten f, g : P → ℝ und a  ∈  ℝ:

(a)	∥ f ∥ = 0 genau dann, wenn f (x) = 0 für alle x  ∈  P,

(b)	∥ af ∥ = \|a\| ∥ f ∥,

(c)	∥ f + g ∥ ≤ ∥ f ∥ + ∥ g ∥. (Dreiecksungleichung)

Die Eigenschaften gelten auch für unbeschränkte Funktionen, wenn wir für (b) und a = 0 vereinbaren, dass 0 · ∞ = 0.

Sind f, g : P → ℝ und ist ε > 0, so gilt ∥ f − g ∥ ≤ ε genau dann, wenn g im abgeschlossenen ε-Schlauch

A_ε(f) = { (x, y)  ∈  P × ℝ | |f (x) − y| ≤ ε }

um f liegt. (Befindet sich g im offenen ε-Schlauch um f, so kann ∥ f − g ∥ = ε gelten, sodass es hier besser ist, „≤“ und einen abgeschlossenen ε-Schlauch zu verwenden.) Diese Beobachtung führt zur folgenden eleganten Formulierung der gleichmäßigen Konvergenz:

Satz (Normformulierung der gleichmäßigen Konvergenz)

Sei (f_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge von Funktionen auf P ≠ ∅, und sei f : P → ℝ.

Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a)	lim_n (f_n)_{n  ∈  ℕ} = f (gleichmäßig).

(b)	lim_n ∥ f − f_n ∥ = 0.

Beweis

Die gleichmäßige Konvergenz von (f_n)_{n  ∈  ℕ} gegen f ist äquivalent zu

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ ∀x  ∈  P |f (x) − f_n(x)| ≤ ε

und damit äquivalent zu

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ sup_{x  ∈  P} |f (x) − f_n(x)| ≤ ε.

Letztere Aussage ist aber äquivalent zu lim_n ∥ f_n − f ∥ = 0.

Die Funktionen des Satzes müssen nicht beschränkt sein.

Damit haben wir die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge auf die Konvergenz einer Folge reeller Zahlen zurückgeführt. Die punktweise Konvergenz lässt sich nicht in dieser Weise vereinfachen.

In der „Analysis 2“ werden wir allgemeine Normen auf Vektorräumen einführen und den von einer Norm erzeugten Konvergenzbegriff untersuchen. Die Supremumsnorm erscheint dann als eine wichtige Norm für Vektorräume, deren Vektoren Funktionen sind.