Funktionenfolgen in ℂ

 Unsere Definitionen zur punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz übertragen sich wieder auf Folgen (f_n)_{n  ∈  ℕ} mit

f_n : P → ℂ  für alle n,

für ein beliebiges P ⊆ ℂ. Die Visualisierung der gleichmäßigen Konvergenz durch „ε-Schläuche“ lässt sich aufrechterhalten, wenn wir zum Real- und Imaginärteil übergehen. Denn eine Funktionenfolge (f_n)_{n  ∈  ℕ} konvergiert in ℂ genau dann gleichmäßig gegen f, wenn die Funktionenfolgen

(Re(f_n))_{n  ∈  ℕ},  (Im(f_n))_{n  ∈  ℕ}

gleichmäßig in ℝ gegen Re(f) bzw. Im(f) konvergieren.

 Auch der Konvergenzsatz von Weierstraß bleibt für komplexe Funktionenreihen f_n : P → ℂ, P ⊆ ℂ, richtig. Er zeigt insbesondere, dass die komplexe Exponentialreihe ∑_n zⁿ/n! in jeder abgeschlossenen Kreisscheibe

K_r  =  { z  ∈  ℂ | |z| ≤ r }

gleichmäßig gegen die komplexe Exponentialfunktion exp | K_r konvergiert.