Der symmetrische Differentialquotient

In unserer Definition des Differentialquotienten bilden wir für eine feste Stelle p des Definitionsbereichs von f : P → ℝ den Limes

lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p.

Wir betrachten nun Annäherungen an p von links und rechts, bei denen wir die Funktion f an zwei von p verschiedenen Stellen auswerten, also Sekantensteigungen „um p herum“ betrachten. Eine vielfach verwendete Form ist:

Definition (symmetrischer Differentialquotient)

Sei f : P → ℝ, und sei p  ∈  P. Es gebe ein ε > 0 derart, dass ] p − ε, p + ε [ ⊆ P. Im Fall der Existenz heißt

lim_h → 0 ^{f (p + h) − f (p − h)}_2h

der symmetrische Differentialquotient von f an der Stelle p. Die Funktion f heißt dann symmetrisch differenzierbar an der Stelle p.

Der betrachtete Differenzenquotient ist das arithmetische Mittel der Differenzenquotienten für die Paare (p − h, p) und (p, p + h):

^{f (p + h) − f (p − h)}_2h = ¹₂ ( ^{f (p) − f (p − h)}_h + ^{f (p + h) − f (p)}_h)

Ist f : P → ℝ differenzierbar an der Stelle p (mit einem inneren Punkt p  ∈  P wie in der Definition), so ist leicht nachzuweisen, dass

f ′(p) = lim_h → 0 ^{f (p + h) − f (p − h)}_2h.

Wir versammeln einige Beispiele. Nachweise der Behauptungen als Übung.

Beispiele

(1)	Die Betragsfunktion ist symmetrisch differenzierbar im Nullpunkt mit symmetrischer Ableitung 0. Ebenso ist f : ℝ → ℝ mit f (x) = max(0, x) im Nullpunkt symmetrisch Differenzierbar mit Wert 1/2.

(2)	Die Funktion f : ℝ → ℝ mit f (x) = x^1/3 für alle x  ∈  ℝ ist im Nullpunkt nicht symmetrisch differenzierbar.

(3)	Die Funktion f : ℝ → ℝ mit f (x) = 1/x² für x ≠ 0 und f (0) = 0 ist im Nullpunkt unstetig, aber symmetrisch differenzierbar mit Wert 0. Analoges gilt für g : ℝ → ℝ mit g(x) = 0 für x ≠ 0 und g(0) = 1.