Die Quotientenregel

Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir:

Seien f, g : P → ℝ differenzierbar in p, und sei g(p) ≠ 0. Dann ist die Funktion f/g differenzierbar in p, und es gilt

(^f_g)′ (p) = ^{f ′(p) g(p) − g′(p) f (p)}_g²(p).

Sei zunächst f (x) = 1 für alle x  ∈  P. Wir wissen bereits, dass

^d_dx ¹_x = − ¹_x² für alle x ≠ 0.

Nach der Kettenregel gilt also

^d_dx ¹_g(x) (p) = − ¹_g²(p) · g′(p) = − ^g′(p)_g²(p).

Der allgemeine Fall ergibt sich nun aus f/g = f · 1/g und der Produktregel:

^d_dx ^f (x)_g(x) (p)	= ^d_dx ( f (x) ¹_g(x)) (p)
	= ^f ′(p)_g(p) − ^{f (p) g′(p)}_g²(p) = ^{f ′(p) g(p) − g′(p) f (p)}_g²(p).

Eine typische Anwendung der Quotientenregel ist:

Für alle x mit cos(x) ≠ 0 gilt

^d_dx tan x	= ^d_dx ^{sin x}_{cos x} = ^{cos x cos x − (− sin x) sin x}_{cos² x}
	= ^{cos² x + sin² x}_{cos² x} = ¹_{cos² x}.

Analog zeigt man, dass für alle x mit sin(x) ≠ 0 gilt:

^d_dx cot x = − ¹_{sin² x}