Die Ableitung der Umkehrfunktion

Die letzte Regel unseres Kalküls ist:

Satz (Ableitung der Umkehrfunktion)

Sei f : P → ℝ injektiv und differenzierbar in p  ∈  P mit f ′(p) ≠ 0. Weiter sei g = f ⁻¹ stetig in q = f (p). Dann ist g differenzierbar in q und es gilt

g′(q) = ¹_f ′(p) = ¹_{f ′(g(q))}.

Damit ist f ⁻¹ differenzierbar, falls P ein Intervall, f : P → ℝ streng monoton, differenzierbar und f ′ nullstellenfrei ist.

Geometrisch: Ist f ′(p) = a, so hat die Tangente h von f bei (p, f (p)) nach Spiegelung an der Winkelhalbierenden die Steigung 1/a. Die gespiegelte Gerade ist die Tangente von g = f ⁻¹ bei (f (p), p). Also gilt g′(f (p)) = 1/a = 1/f ′(p).

In D-Notation lautet die Regel (unter entsprechenden Voraussetzungen an f):

D f ⁻¹ = ¹_{(D f) ∘ f ⁻¹} = ¹_D f ∘ f ⁻¹, (D f ⁻¹) ∘ f = ¹_D f.

Beweis

Sei Q der Wertebereich von f. Da p ein Häufungspunkt von P ist, gibt es eine gegen p konvergente Folge (x_n)_{n  ∈  ℕ} in P − { p }. Aber f ist injektiv und stetig in p, und daher konvergiert (f (x_n))_{n  ∈  ℕ} gegen q in Q − { q }. Also ist q ein Häufungspunkt von Q. Es bleibt zu zeigen:

lim_y → q ^{g(y) − g(q)}_{y − q} = ¹_f ′(p).

Sei hierzu (y_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in Q − { q } mit lim_n y_n = q. Weiter sei x_n = g(y_n) für alle n, sodass f (x_n) = y_n für alle n. Da g stetig in q ist, gilt

lim_n x_n = lim_n g(y_n) = g(lim_n y_n) = g(q) = p.

Dann gilt aber

lim_n ^{g(y_n) − g(q)}_{y_n − q} = lim_n ^{x_n − p}_{f (x_n) − f (p)} = ¹_f ′(p).

Damit ist also g differenzierbar in q und es gilt die Formel des Satzes.

Der Zusatz folgt aus dem Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion.

Die Ableitung des Logarithmus

Mit Ableitungsregel für die Umkehrfunktion können wir nun die Lücke „1/x“ schließen, die in den Ableitungen d/dx xⁿ = n x^n − 1 mit n  ∈  ℤ* = ℤ − { 0 } auftritt.

Satz (Ableitung des Logarithmus)

Die Funktion log : ] 0, ∞ [ → ℝ ist differenzierbar, und es gilt

^d_dx log|x| = ¹_x für alle x ≠ 0.

Beweis

exp : ℝ → ℝ ist streng monoton und differenzierbar mit exp′ = exp.

Nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion gilt also:

^d_dx log(x) = ¹_{exp′(log(x))} = ¹_exp(log(x)) = ¹_x für alle x > 0.

Für x < 0 ergibt sich hieraus nach der Kettenregel

^d_dx log |x| = ^d_dx log(−x) = ¹_−x (−1) = ¹_x.

Wir erhalten also die Ableitungstabelle

…	−x⁻²/2	−x⁻¹	log \|x\|	x¹	x²/2	x³/3	…
…	x⁻³	x⁻²	x⁻¹	x⁰	x¹	x²	…

Der Logarithmus nimmt eine zeitlos bemerkenswerte Sonderrolle ein und wirkt wie ein Kuckucksei in einem Nest voller Polynome.

Die Ableitung der Arkusfunktionen

Auch die Arkusfunktionen können wir mit Hilfe der Regel für die Umkehrfunktion leicht ableiten. Exemplarisch betrachten wir hier:

Satz (Ableitung des Arkussinus und Arkuskosinus)

arcsin, arccos : [ −1, 1 ] → ℝ sind in ] −1, 1 [ differenzierbar und dort gilt

^d_dx arcsin x = $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ , ^d_dx arccos x = − $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

Beweis

Wir zeigen die Aussage für arcsin. Der Beweis für arccos ist analog.

Die Funktion sin₀ : [ −π/2, π/2 ] → ℝ ist streng monoton und differenzierbar mit sin₀′(x) = cos(x). Die Formel cos(arcsin x) = (1 − x²)^1/2 liefert nun

^d_dx arcsin x = ¹_{cos(arcsin x)} = $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ für alle x  ∈  ] −1, 1 [.