Die logarithmische Ableitung
Sei f : P → ] 0, ∞ [ differenzierbar. Dann gilt nach der Ableitungsregel für den Logarithmus und der Kettenregel
ddx log(f (x)) = f ′(x)f (x) für alle x ∈ P.
Wir verwenden nun die rechte Seite zur Definition einer Ableitungsoperation.
Definition (logarithmische Ableitung)
Sei f : P → ℝ* differenzierbar. Dann definieren wir die logarithmische Ableitung L(f) : P → ℝ von f durch
L(f)(x) = f ′(x)f (x) für alle x ∈ P.
Die logarithmische Ableitung lässt sich definieren, ohne den Logarithmus zu kennen. Ist f : P → ] 0, ∞ [ differenzierbar, so gilt L(f) = D(log ∘ f), d. h.
ddx log(f (x)) = L(f)(x) für alle x ∈ P.
Die logarithmische Ableitung kommt mit einem eigenen Kalkül:
Regeln für die logarithmische Ableitung
Seien f, g, f1, …, fn : P → ℝ* differenzierbar. Dann gilt:
L(f g) = L(f) + L(g),(Produktregel)
L(f1 · … · fn) = L(f1) + … + L(fn),(allgemeine Produktregel)
L(1/f) = − L(f),
L(f/g) = L(f) − L(g).(Quotientenregel)
Die Regeln lassen sich ohne Verwendung des Logarithmus beweisen (Übung). Die Produktregel können wir in der Form
(f g)′f g = f ′f + g′g
schreiben. Die Multiplikation mit f g liefert die übliche Produktregel
(f g)′ = f ′ g + f g′.
Dem Leser wird es vielleicht eine Freude bereiten, aus der Regel für L(f1 · … · fn) die Produktregel für (f1 · … · fn)′ zu rekonstruieren.