Ableitung der elementaren Funktionen

Wir stellen die Ableitungen der im dritten Abschnitt betrachteten Funktionen tabellarisch zusammen. Sie lassen sich alle mit Hilfe unserer Regeln berechnen.

Satz (elementare Ableitungen)

Auf den Definitionsbereichen der betrachteten Funktionen gilt:

^d_dx a^x = log(a) a^x	^d_dx x^a = a x^{a − 1}
^d_dx log_a(x) = ¹_{x log(a)}	^d_dx log_x(a) = − ^log_x(a)_{x log(x)}
^d_dx tan x = ¹_{cos² x}	^d_dx cot x = − ¹_{sin² x}
^d_dx sec x = ^{sin x}_{cos² x}	^d_dx csc x = − ^{cos x}_{sin² x}
^d_dx arcsin x = $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	^d_dx arccos x = − $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
^d_dx arctan x = ¹_{1 + x²}	^d_dx arccot x = − ¹_{1 + x²}
^d_dx sinh x = cosh x	^d_dx cosh x = sinh x
^d_dx tanh x = ¹_{cosh² x}	^d_dx coth x = − ¹_{sinh² x}
^d_dx arsinh x = $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$	^d_dx arcosh x = $\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$
^d_dx artanh x = ¹_{1 − x²}	^d_dx arcoth x = ¹_{1 − x²}

Die Beweise der noch nicht behandelten Ableitungen seien dem fleißig differenzierenden Leser überlassen.