Das Steigungs-Lemma
Ebenso anschaulich wie nützlich ist:
Satz (Steigungs-Lemma)
Sei f : P → ℝ differenzierbar an der Stelle p ∈ P mit f ′(p) > 0. Dann gilt:
f (x) < f (p) links von p, f (x) > f (p) rechts von p.
Ist f (p) = 0 und ] p − ε, p + ε [ ⊆ P für ein ε > 0, so wechselt f an der Stelle p das Vorzeichen (von − nach +).
Analoges gilt im Fall f ′(p) < 0 mit vertauschten Rollen von < und >.
Beweis
Nach Voraussetzung gilt
limx → p f (x) − f (p)x − p = f ′(p) > 0.
Damit existiert ein ε > 0 mit
f (x) − f (p)x − p > 0 für alle x ∈ ] p − ε, p + ε [ ∩ P.
Dann haben der Zähler und der Nenner der Differenzenquotienten das gleiche Vorzeichen, woraus die Behauptung folgt. Die Zusätze sind klar.
Aus f ′(p) ≥ 0 folgt im Allgemeinen nicht, dass f (x) ≤ f (p) links und f (x) ≥ f (p) rechts von p. Ein Gegenbeispiel ist f : ℝ → ℝ mit f (x) = − x3 und p = 0.