Lokale Extrema

Grundlegend für alles Weitere sind die folgenden Begriffe und Sprechweisen:

Definition (lokales Maximum, Minimum, Extremum)

Sei f : P → ℝ, und sei p  ∈  P. Dann heißt (p, f (p))  ∈  ℝ² ein lokales Maximum oder ein Hochpunkt von f, falls gilt:

f (x) ≤ f (p) links und rechts von p.

Wir sagen auch, dass die Funktion f an der Stelle p ein lokales Maximum besitzt oder es in p annimmt. Analog ist ein lokales Minimum (Tiefpunkt) definiert. Weiter heißt (p, f (p)) ein lokales Extremum von f, falls (p, f (p)) ein lokales Maximum oder Minimum von f ist.

Ein lokales Extremum (p, f (p)) heißt strikt, falls

f (x) ≠ f (p) links und rechts von p.

Ist (p, f (p)) ein lokales Extremum von f, so heißt p eine lokale Extremalstelle und f (p) ein lokaler Extremwert von f. Analog sind lokale Maximal- und Minimalstellen und lokale Maximal- und Minimalwerte definiert.

Schließlich heißt ein Extremum (p, f (p)) von f ein Randextremum, wenn es ein ε > 0 gibt mit ] p − ε, p [ ∩ P = ∅ oder ] p, p + ε [ ∩ P = ∅.

Wie in „Nullstelle“ und „Zwischenwertsatz“ verwenden wir also „Stelle“ zur Bezeichnung eines Elements des Definitionsbereichs und „Wert“ zur Bezeichnung eines Elements des Wertebereichs von f. Lokale Extrema fassen wir dagegen als Punkte der Ebene auf, wie es ja auch der Anschauung entspricht: Wenn wir in einem Diagramm einer Funktion auf ein lokales Maximum deuten, so zeigen wir auf einen Punkt der Form (p, f (p)).

Ein Maximum oder Minimum einer Funktion f (wie im Extremwertsatz von Weierstraß) bezeichnen wir auch als globales Maximum oder Minimum.

Beispiele

(1)	Der Kosinus hat seine Hoch- und Tiefpunkte genau an den ganzzahligen Vielfachen von π. Jedes Extremum ist strikt, und lokale Minimal- und Maximalstellen wechseln sich ab. Alle Extrema sind global.

(2)	Ist f : P → ℝ konstant gleich c, so ist jeder Punkt (p, c) mit p  ∈  P ein Hoch- und Tiefpunkt. Umgekehrt gilt: Ist (p, f (p)) ein lokales Maximum und Minimum einer Funktion f : P → ℝ , so ist f links und rechts von p konstant gleich f (p).

(3)	Sei f : [ 0, 1 ] → ℝ mit f (x) = x. Dann hat f Randextrema bei 0 und 1. Analog hat die Quadratwurzel sqrt : [ 0, ∞ [ → ℝ ein Randminimum bei 0. Dagegen hat g : ] 0, 1 [ → ℝ mit g(x) = x keine lokalen Extrema.

Lokale Extrema einer Funktion f : [ a, b ] → ℝ. p ist eine lokale Maximalstelle, f (p) ein lokaler Maximalwert und (p, f (p)) ein lokales Maximum von f. Die beiden rechten lokalen Extrema sind global. Bei a und b liegen Randextrema.

Der Satz über die Tangentensteigung an Extremalstellen des letzten Kapitels gilt auch in einer lokalen Version. Wir erhalten:

Satz (notwendiges Kriterium für lokale Extrema)

Sei f : ] a, b [ → ℝ differenzierbar an einer Stelle p  ∈  ] a, b [ , und sei (p, f (p)) ein lokales Extremum von f. Dann gilt f ′(p) = 0.

Der Leser führe sich noch einmal das Argument vor Augen: Ist p ein lokales Maximum von f, so sind die Differenzenquotienten f [ x, p ] = (f (x) − f (p))/(x − p) links von p größergleich 0 und rechts von p kleinergleich 0. Damit muss f ′(p) = 0 gelten. Analoges gilt für lokale Minima.

Im Inneren eines Definitionsintervalls sind also die lokalen Extremalstellen unter den kritischen Punkten zu suchen. Salopp formuliert:

Kritische Punkte sind Kandidaten für lokale Extrema.

Es ist instruktiv, Gegenbeispiele zu betrachten:

Beispiele

(1)	Die dritte Potenz f : ℝ → ℝ mit f (x) = x³ zeigt, dass das Kriterium „f ′(p) = 0“ des Satzes nicht hinreichend ist. Es gilt f ′(0) = 0, aber der Nullpunkt ist keine lokale Extremalstelle von f. Allgemein gilt dies für alle Monome xⁿ mit einer ungeraden Potenz n ≥ 3.

(2)	Das Kriterium ist für Randstellen eines Definitionsintervalls im Allgemeinen nicht gültig: Die obige Funktion f : [ 0, 1 ] → ℝ mit f (x) = x hat an den Stellen 0 und 1 Randextrema. Aber die Ableitung f ′ : [ 0, 1 ] → ℝ ist konstant gleich 1 und damit nullstellenfrei.