Ausblick: Irreguläre lokale Extremwerte

Sei f : I → ℝ differenzierbar, und sei p  ∈  I. Nach dem ersten hinreichenden Kriterium für lokale Extremwerte gilt:

(+)	Ist f ′ ≤ 0 links von p und f ′ ≥ 0 rechts von p, so hat f ein lokales Minimum bei p.

Aufgrund des Monotoniesatzes ist (+) äquivalent zu:

(++)	Ist f monoton fallend links von p und monoton steigend rechts von p, so hat f ein lokales Minimum bei p.

Es stellt sich die Frage, ob ein lokales Minimum immer diese Form hat. Hierzu definieren wir allgemein:

Definition (reguläre und irreguläre lokale Extrema)

Sei f : P → ℝ, und f habe ein lokales Minimum bei p. Dann heißt p regulär, falls gilt:

(a)	f ist monoton fallend links von p,

(b)	f ist monoton steigend rechts von p.

Andernfalls heißt p irregulär. Analog sind reguläre und irreguläre lokale Maximalstellen definiert.

Dass eine differenzierbare Funktion ein irreguläres Extremum besitzen kann zeigt:

Beispiel 1: Ein irreguläres Minimum

Wir definieren f : ℝ → ℝ durch

$f (x) = { \begin{matrix} x^{2} (1 + sin (1 / x)) & falls x \neq 0 \\ 0 & falls x = 0 \end{matrix}$

Offenbar ist f (0) ≤ f (x) für alle x  ∈  ℝ. Die Produktregel und eine direkte Berechnung des Differentialquotienten an der Stelle 0 zeigen, dass f differenzierbar ist. Es gilt

$f ′ (x) = { \begin{matrix} 2 x (1 + sin (1 / x)) - cos (1 / x) & falls x \neq 0 \\ 0 & falls x = 0 \end{matrix}$

Da f in jedem Intervall ] −ε, ε [ sowohl den Wert 0 als auch einen positiven Wert annimmt, ist das (globale) Minimum 0 von f irregulär. Das erste hinreichende Kriterium ist nicht anwendbar.

f nähert sich dem lokalen Minimum bei 0 nicht monoton, sondern oszillierend an.

Ein Beispiel für ein striktes irreguläres Minimum lässt sich nun ebenfalls leicht angeben:

Beispiel 2: Ein striktes irreguläres Minimum

Mit f wie in Beispiel 1 sei g : ℝ → ℝ definiert durch

g(x) = f (x) + x².

Dann ist g differenzierbar und der Nullpunkt ist ein striktes irreguläres Minimum von g.

Für eine umfangreiche Klasse von „alltäglichen“ differenzierbaren Funktionen ist das hinreichende Kriterium (+) aber auch notwendig. Hierzu beobachten wir, dass ein irreguläres Extremum ein Häufungspunkt lokaler Extrema sein muss:

Satz (notwendige Bedingung für irreguläre Extrema)

Sei f : P → ℝ stetig, und sei p  ∈  P eine irreguläre Extremalstelle von f. Dann gibt es eine gegen p konvergente Folge (x_n)_n ∈ ℕ in P von lokalen Extremalstellen x_n von f.

Beweis

Da p irregulär ist, ist f links oder rechts von p nicht monoton. Also gibt es Stellen a < b < c links oder rechts von p mit

f (a) < f (b), f (b) > f (c) oder f (a) > f (b), f (b) < f (c).

Nach dem Extremwertsatz von Weierstraß nimmt also f ↾ [ a, c ] ihr Maximum bzw. Minimum in einem x  ∈  ] a, c [ an. Damit ist x eine lokale Extremalstelle von f. Ein solches x existiert beliebig nahe bei p.

Für Polynome, rationale Funktionen und auch viele mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen aufgebaute Funktionen liefert also die Bestimmung von lokalen Extrema mit Hilfe von (+) bzw. (++) auch wirklich alle lokalen Extrema.