Ausblick: Irreguläre lokale Extremwerte

Sei f : I → ℝ differenzierbar, und sei p  ∈  I. Nach dem ersten hinreichenden Kriterium für lokale Extremwerte gilt:

(+)	Ist f ′ ≤ 0 links von p und f ′ ≥ 0 rechts von p, so hat f ein lokales Minimum bei p.

Aufgrund des Monotoniesatzes ist (+) äquivalent zu:

(++)	Ist f monoton fallend links von p und monoton steigend rechts von p, so hat f ein lokales Minimum bei p.

Es stellt sich die Frage, ob ein lokales Minimum (und analog ein lokales Maximum) immer diese Form hat. Hierzu definieren wir allgemein:

Definition (reguläre und irreguläre lokale Extrema)

Sei f : P → ℝ, und f habe ein lokales Minimum bei p. Dann heißt p regulär, falls gilt:

(a)	f ist monoton fallend links von p,

(b)	f ist monoton steigend rechts von p.

Andernfalls heißt p irregulär. Analog sind reguläre und irreguläre lokale Maximalstellen definiert.

Dass eine differenzierbare Funktion ein irreguläres Extremum besitzen kann zeigt:

Beispiel 1: Ein irreguläres Minimum

Wir definieren f : ℝ → ℝ durch

$f (x) = { \begin{matrix} x^{2} (1 + sin (1 / x)) & falls x \neq 0 \\ 0 & falls x = 0 \end{matrix}$

Offenbar ist f (0) ≤ f (x) für alle x  ∈  ℝ. Die Produktregel und eine direkte Berechnung des Differentialquotienten an der Stelle 0 zeigen, dass f differenzierbar ist. Es gilt

$f ′ (x) = { \begin{matrix} 2 x (1 + sin (1 / x)) - cos (1 / x) & falls x \neq 0 \\ 0 & falls x = 0 \end{matrix}$

Da f in jedem Intervall ] −ε, ε [ sowohl den Wert 0 als auch einen positiven Wert annimmt, ist das (globale) Minimum 0 von f irregulär. Das erste hinreichende Kriterium ist nicht anwendbar.

f nähert sich dem lokalen Minimum bei 0 nicht monoton, sondern oszillierend an.

Ein Beispiel für ein striktes irreguläres Minimum lässt sich nun ebenfalls leicht angeben:

Beispiel 2: Ein striktes irreguläres Minimum

Mit f wie in Beispiel 1 sei g : ℝ → ℝ definiert durch

g(x) = f (x) + x².

Dann ist g differenzierbar und der Nullpunkt ist ein striktes irreguläres Minimum von g.

Für eine umfangreiche Klasse von „alltäglichen“ differenzierbaren Funktionen ist das hinreichende Kriterium (+) aber auch notwendig. Hierzu beobachten wir, dass ein irreguläres Extremum einer auf einem Intervall definierten Funktion ein Häufungspunkt lokaler Extrema sein muss:

Satz (notwendige Bedingung für irreguläre Extrema)

Sei f : I → ℝ stetig, und sei p  ∈  I eine irreguläre Extremalstelle von f. Dann gibt es eine gegen p konvergente Folge (x_n)_n ∈ ℕ in P von lokalen Extremalstellen x_n von f.

Beweis

Da p irregulär ist, ist f links oder rechts von p nicht monoton. Also gibt es Stellen a < b < c links oder rechts von p mit

(1) f (a) < f (b), f (b) > f (c) oder (2) f (a) > f (b), f (b) < f (c).

Wir nehmen an, dass (1) gilt. Da I ein Intervall ist, gilt [ a, c ] ⊆ I. Nach dem Extremwertsatz von Weierstraß nimmt also die stetige Funktion f ↾[ a, c ] ihr Maximum in einem x  ∈  ] a, c [ an (nach (1) ist x ≠ a, c). Damit ist x ein lokales Maximum von f. Analog erhalten wir ein lokales Minimum x  ∈  ] a, c [ , falls (2) gilt. Derartige lokale Extrema x existieren beliebig nahe bei p.

Der Satz setzt keine Differenzierbarkeit voraus. Für differenzierbare Funktionen zeigt der Beweis zusammen mit dem notwendigen Kriterium für lokale Extrema (angewendet auf die Extremalstellen x  ∈  ] a, c [ wie im Beweis):

Korollar (Häufungspunkte von kritischen Punkten)

Sei f : I → ℝ differenzierbar, und sei p  ∈  I eine irreguläre Extremalstelle von f. Dann ist p ein Häufungspunkt von Nullstellen von f ′.

Eine differenzierbare Funktion f : P → ℝ hat diskrete kritische Punkte, falls die Menge crit_f = { x  ∈  P | f ′(x) = 0 } keine Häufungspunkte in P besitzt. Dies ist insbesondere der Fall, wenn crit_f endlich ist. Weiter haben zum Beispiel auch cos und sin diskrete kritische Punkte. Damit können wir das Korollar so formulieren:

Korollar (reguläre Extremwerte bei diskreten kritischen Punkten)

Sei f : I → ℝ differenzierbar mit diskreten kritischen Punkten. Dann sind alle lokalen Extrema von f regulär.

Allgemeiner gilt dies für aus endlich vielen Intervallen zusammengesetzte Definitionsbereiche. Damit haben alle Polynome, rationale Funktionen und auch viele mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen aufgebaute Funktionen nur reguläre lokale Extrema. Bei diskreten kritischen Punkten liefert die Bestimmung von lokalen Extrema mit Hilfe von (+) bzw. (++) alle lokalen Extrema.

Geometrische Interpretationen eines kritischen Punktes

Sei f : P → ℝ differenzierbar bei p mit f ′(p) = 0. Dann hat die dortige Tangente g die Steigung 0, sodass f bei p „flach“ ist. Darüber hinaus ist folgende geometrische Anschauung besonders instruktiv für lokale Extrema:

Winkelbereiche bei kritischen Punkten

Der Graph von f läuft in jeden noch so schmalen Winkelbereich um (p,f (p)) hinein. Genauer bedeutet dies:

f liegt links und rechts von p zwischen zwei Geraden g_a und g_− a durch (p, f (p)) mit den Steigungen a bzw. − a, für beliebig kleine a > 0.

(Sonst würde |f ′(p)| ≥ a für ein a > 0 gelten.) Das Hineinlaufen in einen beliebig schmalen Winkelbereich führt oft, aber nicht immer zu einem Extremum von f. Ein Minimum erhalten wir nur, wenn f links und rechts von p größergleich der Tangente g von f bei p ist (Hineinlaufen in die obere Hälfte von Winkelbereichen). Analoges gilt für ein Maximum (untere Hälfte). Lässt sich das Hineinlaufen nicht auf die obere oder untere Hälfte der Winkelbereiche beschränken, liegt kein Extremum vor. Das Hineinlaufen kann, unabhängig von einem Extremum, monoton oder oszillierend sein.